多方面分析

在这个世界上，大多数物理事物都是可以测量的。人类为测量这些东西而开发的系统称为测量系统。每个测量值都有两个部分，一个数字 (n) 和一个单位 (u)。单位描述了数字，这个数字是什么以及它的含义。例如 46 cm，这里 46 是数字，cm 是单位。没有单位，就无法描述数量。

在物理世界中，有各种类型的量需要测量。小到原子大小，大到行星之间的距离。也有必要将它们从一个单位转换为另一个单位。这种转换称为单位分析或维度分析。单位分析只是比例推理的另一种形式。在其中，测量值乘以某个已知比例并给出具有不同单位的结果。概括地说，它是一种将一个数乘以或除以已知比率以找到另一个单位的方法。

单位类型

1. 基本单位：不是从任何其他数量导出的数量称为基本数量。用于测量这些量的单位称为基本单位。例如，基本量是长度、质量、时间、电流、温度、强度、物质的数量。安培、开尔文、坎德拉、摩尔。测量这些量的单位称为基本单位。
2. 派生单位：从其他数量派生的数量称为派生数量。用于测量这些量的单位称为派生单位。例如，力、加速度、压力、能量、功率都是导出量。

尺寸和尺寸公式

每个数量都需要用一个单位表示。为此，涉及该数量的所有基本单位都被提升到一定的权力。这些能力称为维度。

所有提升到一定幂的基本单位都放在一个表达式中。该表达式称为该量的维数公式。

例如，速度表示为 v = L ¹ T ^-1 。这里1和-1称为维度，L ¹ T ^-1是维度公式。

多方面分析

如果我们需要检查一个方程的有效性，那么维度分析就派上用场了。维度分析也称为因子标签法或单位因子法，因为转换因子用于获得相同的单位。如果要检查给定方程是否正确，可以计算两侧的尺寸（LHS 和 RHS），如果两个尺寸相等，则方程正确，否则，它是错误的。

例如 -

如果你忘记了是否

1.速度=距离*时间

2.速度=距离/时间

Dimensional analysis on 1

LHS = LT-1

RHS = LT

LHS != RHS  

Hence its wrong

Dimensional analysis on 2

LHS = LT-1

RHS = L/T = LT-1

LHS = RHS

Hence its right.

量纲分析的同质性原理

如果方程两边的每一项都具有相同的量纲公式，则该方程在量纲上是正确的。这就是同质性原则。这很有帮助，因为它有助于将单位从一个系统转换为另一个系统。

For example –  

We have a physics equation,  

S = ut + 1/2at²

LHS is distance,  

So dimension of LHS = L¹M⁰T⁰

RHS,

In dimensional frame,

= [u][t] + [a][t]²

= [LT^-1][T] + [LT^-2][T]²

= [L] + [L]

Both the terms of RHS are equal to LHS, therefore this equation is dimensionally correct and the homogeneity principle of dimensional analysis holds.  

量纲分析的应用

测量最重要的方面之一是尺寸分析，它有多种应用，例如，

1.利用齐次性原理检验方程或任何关系的正确性。如果两边的尺寸相等，则等式在尺寸上也是正确的。

2. 它还用于将单位从一种系统转换为另一种系统。

3.它们也代表了物理量的性质。

4.量纲分析也用于推导公式。

维度分析的局限性

量纲分析也有很多局限性。他们中很少有

1. 它不提供任何关于尺寸常数的信息。

2.三角函数、指数函数和对数函数不能从量纲分析中导出。

3. 使用维度分析，我们无法确定一个量是标量还是向量。

有量纲和无量纲变量

有维度但没有固定值的变量称为维度变量。示例——速度、加速度、功、功率等。

没有固定值且没有量纲的变量称为无量纲变量。示例——比重、摩擦力、泊松比。

有单位的无量纲量 -角位移 - 弧度，焦耳常数 - 焦耳/卡路里

也是没有单位的无量纲量 – 纯数 – π, e, sin θ, cos θ。

具有尺寸和固定值的变量称为尺寸常数。示例 –万有引力常数 (G)、通用气体常数 (R)、真空中的光速 (c)。

使用量纲分析推导物理量之间的关系

Lets derive the formula for centripetal force, F, acting on an object moving in a uniform circle.

We know that, centripetal force acting on a particle depends on its mass(m), velocity with which its moving(v) and the radius of the circle(r).

 F = m^av^br^c

 Writing the dimensions of all quantities

 [MLT-2] = M^a[LT^-1]^b L^c

 On simplifying,  

 [MLT^-2] = M^a[L^b+cT^-b]

 Using the principle of homogeneity,

 a = 1,  

 b + c = 1

 b = 2

 On solving, we get

 a = 1, b = 2, c = -1

Therefore the centripetal force, F is

F= k (m*v²)/r

示例问题

问题1：确定动能的量纲公式。

解决方案：

The formula for the Kinetic energy is 1/2 mv² 

The dimensional formula for velocity can be calculated as,

 = [M]

   We know that,

   Velocity = distance/time

   Dimensional formula of velocity = [LT^-1]

   Therefore, kinetic energy = [M^1L2T-2]

问题 2：你记得 πr ²和 2πr 是圆的面积和周长的公式，但是你不记得哪个公式是面积公式，哪个公式是圆周长。使用维度分析查找。

解决方案：

   Formula 1 – πr² = [π].[r]²

   

   As π is a constant, so it is dimensionless

   So, =  1. [L]²

   

   Radius has the dimension of length, therefore formula 1 has dimensional formula of area.

   Area = πr²

   Formula 2 – 2πr = 2.[π].[r]

   

   As π is a constant, so it is dimensionless

   

   So, =  2.1. [L] = dimension of length

   

   Radius has the dimension of length, therefore formula 2 has dimensional formula of circumference.

   Circumference = 2πr

问题 3：v = at 尺寸正确吗？

解决方案：

Here, LHS: velocity, v 

v = [LT^-1]

And, RHS = at i.e. acceleration × time

Acceleration = [LT^-2]

Time = [T]

Therefore, at = [LT^-1]

Hence,

LHS = RHS

and the given equation is dimensionally correct.

问题 5：什么是量纲常数？

解决方案：

Those Constant which have dimension are called dimensional constant. For example: Planck’s constant, Joule’s constant etc.

问题 5：什么是维度变量？

解决方案：

The physical quantities that have dimension but do not have a fixed value. For Example: velocity, displacement etc.