使用称为背包问题的众所周知的问题，可以很好地理解贪婪算法。尽管可以通过采用其他算法方法来解决相同的问题，但贪婪方法可以在适当的时间内合理地解决分数阶背包问题。让我们详细讨论背包问题。

背包问题

给定一组项目，每个项目都有一个权重和一个值，请确定要包含在集合中的项目子集，以使总权重小于或等于给定的限制，并且总值尽可能大。

背包问题在组合优化问题中。在现实世界中许多更复杂的数学模型中，它似乎是一个子问题。解决难题的一种通用方法是：确定最严格的约束条件，忽略其他约束条件，解决背包问题，并以某种方式调整解决方案以满足被忽略的约束条件。

应用领域

在资源分配的许多情况下，加上一些约束，可以以类似背包问题的方式得出该问题。以下是一组示例。

• 寻找最浪费的方式来削减原材料
• 投资组合优化
• 减少库存问题

问题场景

小偷正在抢劫商店，并且可以在背包中携带最大重量的W。有可用的n个项目在商店和重量^第i项为w _i和它的利润是P _I。小偷应该带些什么?

在这种情况下，物品的选择应使小偷携带那些他将获得最大利润的物品。因此，小偷的目的是使利润最大化。

根据项目的性质，背包问题被分类为

• 小背包
• 背包

小背包

在这种情况下，物品可以分成较小的碎片，因此小偷可以选择物品的一部分。

根据问题陈述，

• 店里有n件商品

• ^第i^个商品的重量$ w_ {i}> 0 $

• ^第i^个项目$ p_ {i}> 0 $的利润，以及

• 背包容量为W

在此版本的背包问题中，项目可以分解成较小的部分。因此，小偷可能只占^第i^个项目的分数x _i 。

$$ 0 \ leqslant x_ {i} \ leqslant 1 $$

^第i^个项目贡献的权重$ X_ {I} {.w_ I} $在背包和利润$ X_ {I} {.p_ I} $利润总额的总重量。

因此，该算法的目的是

$$ maximize \：\ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 1} ^ n(x_ {i} .p _ {} i)$$

受约束，

$$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 1} ^ n(x_ {i} .w _ {} i)\ leqslant W $$

显然，最佳解决方案必须准确地填充背包，否则我们可以添加剩余项目之一的一部分，从而增加整体利润。

因此，通过

$$ \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 1} ^ n(x_ {i} .w _ {} i)= W $$

在这种情况下，首先我们需要根据$ \ frac {p_ {i}} {w_ {i}} $的值对这些项目进行排序，以便$ \ frac {p_ {i} +1} {w_ {i } +1} $≤$ \ frac {p_ {i}} {w_ {i}} $。在此， x是用于存储项目分数的数组。

Algorithm: Greedy-Fractional-Knapsack (w[1..n], p[1..n], W) 
for i = 1 to n 
   do x[i] = 0 
weight = 0 
for i = 1 to n 
   if weight + w[i] ≤ W then  
      x[i] = 1 
      weight = weight + w[i] 
   else 
      x[i] = (W - weight) / w[i] 
      weight = W 
      break 
return x

分析

如果提供的项目已经按照$ \ mathbf {\ frac {p_ {i}} {w_ {i}}} $$的降序进行排序，则while循环将花费O(n)的时间；因此，包括排序在内的总时间为O(n logn) 。

例

让我们考虑一下背包W的容量= 60和所提供物品的列表如下表所示-

由于所提供的项目未基于$ \ mathbf {\ frac {p_ {i}} {w_ {i}}} $进行排序。排序后，各项如下表所示。

解

根据$ \ frac {p_ {i}} {w_ {i}} $对所有项目进行排序之后。首先，选择所有B ，因为B的重量小于背包的容量。接下来，选择项目A ，因为背包的可用容量大于A的重量。现在，选择C作为下一项。但是，由于背包的剩余容量小于C的重量，因此无法选择整个项目。

因此，选择C的分数(即(60-50)/ 20)。

现在，背包的容量等于所选项目。因此，无法选择更多项目。

所选项目的总重量为10 + 40 + 20＆ast; (10/20)= 60

而总利润为100 + 280 + 120＆ast; (10/20)= 380 + 60 = 440

这是最佳解决方案。选择任何不同的项目组合，我们都无法获得更多利润。