DAA计数排序介绍

计数排序是一种非比较排序算法，它的核心思想是通过统计待排序数列中每个元素出现的次数，进而推导出它们在有序数列中的位置，从而实现排序目的。而DAA计数排序则是在计数排序的基础上，添加了将待排序数列中的元素进行离散化的步骤。

离散化

DAA计数排序中的离散化指的是将待排序数列中的元素进行离散化处理，即将每个元素按照某种规则转换为离散的整数。离散化可以有效地缩小元素的范围，从而减小计数数组的长度，降低空间复杂度。

对于一个数列A，离散化的公式可以表示为：

B[i] = rank(A[i])，其中rank(A[i])表示A[i]在所有元素中的排名，B[i]为排名转化后对应的整数。

例如，对于数列A = [5, 3, 7, 1, 8, 5]，通过离散化得到B = [2, 1, 3, 0, 4, 2]。

算法实现

DAA计数排序的实现步骤如下：

1. 离散化：首先对待排序数列进行离散化处理，得到转换后的数列B。

2. 统计元素个数：根据离散化后的数列B统计每个元素出现的次数。

3. 计算元素位置：根据统计出来的元素次数，计算每个元素在有序数列中的位置。

4. 排序：将待排序数列按照上一步中计算出来的位置进行排序。

下面是使用Python实现DAA计数排序的代码：

def DAA_counting_sort(arr):
    # 离散化
    n = len(arr)
    b = [0] * n
    s = sorted(set(arr))
    rank = {s[i]: i for i in range(len(s))}
    for i in range(n):
        b[i] = rank[arr[i]]

    # 统计元素个数
    cnt = [0] * len(s)
    for i in range(n):
        cnt[b[i]] += 1

    # 计算元素位置
    pos = [0] * len(s)
    for i in range(1, len(s)):
        pos[i] = pos[i - 1] + cnt[i - 1]

    # 排序
    res = [0] * n
    for i in range(n):
        res[pos[b[i]]] = arr[i]
        pos[b[i]] += 1

    return res

算法分析

DAA计数排序的时间复杂度为O(n+k)，其中n为待排序数列的长度，k为离散化后数列的最大值。由于DAA计数排序对于原始数据的范围没有硬性限制，因此可以处理大规模数据，但在数据较为稠密的情况下，空间复杂度较高，在某些情况下可能会占用较大的内存。