S上的序列Z = 1 ，z ₂ ，z ₃ ，z ₄ ，…，z _m >称为S的子序列，当且仅当它可以从某些元素的S缺失中得出。

共同子序列

假设X和Y是元素的有限集合上的两个序列。我们可以说，Z是X和Y的一个公共子序列，如果Z，X和Y的子序列。

最长的公共子序列

如果给出一组序列，则最长的公共子序列问题是找到所有序列的最大长度的公共子序列。

最长的常见子序列问题是经典计算机科学问题，它是数据比较程序(例如diff-utility)的基础，并已在生物信息学中得到应用。版本控制系统(例如SVN和Git)也广泛使用它来协调对版本控制的文件集合所做的多个更改。

天真的方法

令X为长度为m的序列， Y为长度为n的序列。检查X的每个子序列是否是Y的子序列，并返回找到的最长的公共子序列。

X有2 ^m个子序列。测试序列是否为Y的子序列需要O(n)时间。因此，朴素的算法将花费O(n2 ^m )时间。

动态编程

令X = 1 ，x ₂ ，x ₃ ，…，x _m >并且Y = 1 ，y ₂ ，y ₃ ，…，y _n >为序列。要计算元素的长度，请使用以下算法。

在此过程中，以行主要顺序计算表C [m，n]，并计算另一个表B [m，n]以构造最佳解。

Algorithm: LCS-Length-Table-Formulation (X, Y)
m := length(X) 
n := length(Y) 
for i = 1 to m do 
   C[i, 0] := 0 
for j = 1 to n do 
   C[0, j] := 0 
for i = 1 to m do 
   for j = 1 to n do 
      if xi = yj 
         C[i, j] := C[i - 1, j - 1] + 1 
         B[i, j] := ‘D’ 
      else 
         if C[i -1, j] ≥ C[i, j -1] 
            C[i, j] := C[i - 1, j] + 1 
            B[i, j] := ‘U’ 
         else 
         C[i, j] := C[i, j - 1]
         B[i, j] := ‘L’ 
return C and B

Algorithm: Print-LCS (B, X, i, j)
if i = 0 and j = 0 
   return  
if B[i, j] = ‘D’ 
   Print-LCS(B, X, i-1, j-1) 
   Print(xi) 
else if B[i, j] = ‘U’ 
   Print-LCS(B, X, i-1, j) 
else 
   Print-LCS(B, X, i, j-1) 

该算法将打印X和Y的最长公共子序列。

分析

要填充表，外部for循环迭代m次，内部for循环迭代n次。因此，算法的复杂度为O(m，n) ，其中m和n是两个字符串的长度。

例

在此示例中，我们有两个字符串X = BACDB和Y = BDCB以找到最长的公共子序列。

遵循算法LCS-Length-Table-Formulation(如上所述)，我们计算了表C(显示在左侧)和表B(显示在右侧)。

在表B中，我们分别使用对角线箭头，左箭头和上箭头而不是’D’，’L’和’U’。生成表B后，LCS由函数LCS-Print确定。结果是BCB。