记住Strassen矩阵方程的简单方法

如果您是一名程序员，您可能会遇到需要矩阵计算的情况。在这种情况下，Strassen算法是一种非常有效的方法，它可以将矩阵乘法的复杂度从 $O(n^3)$ 降低到 $O(n^{log_27}) \approx O(n^{2.81})$。这是如何记住Strassen矩阵方程的简单方法。

Strassen矩阵方程

Strassen算法通过将两个矩阵分成较小的块，并使用以下方程来计算它们的产品：

$$ A \times B= \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} $$

其中 $C_{11},C_{12},C_{21},C_{22}$ 定义如下：

$$ \begin{aligned} C_{11} &= A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} \ C_{12} &= A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \ C_{21} &= A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} \ C_{22} &= A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{aligned} $$

问题是如何记住这个方程。下面是一个简单的方法。

记住Strassen矩阵方程的简单方法

将这个方程拆成两个矩阵相乘的形式，即

$$ \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} $$

然后将左边的矩阵看作一个新矩阵D，即

$$ D = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} $$

现在，将右边的矩阵也看作一个新矩阵，即

$$ E = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} $$

同样，将右边的矩阵看作一个新矩阵，即

$$ F = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} $$

现在，矩阵方程变为：

$$ D = E \times F $$

最后，你可以用容易记忆的方法计算每个矩阵块。 例如，C11的计算可以缩写为

C11 = M1 + M4 - M5 + M7

其中， M1 = (A11+A22) × (B11+B22)，M4 = (A12−A22) × (B21+B22)， M5 = (A11−A21) × (B11+B12)，M7 = (A11−A22) × (B11+B22)。

这就是如何记住Strassen矩阵方程的简单方法！使用Strassen算法可以提高您的矩阵计算效率，因此有时可以成为解决问题的好办法。