简化 (2 – 14i)(2 + 14i)

复数是可以表示为实数和虚数之和的术语。这些是可以写成 a + ib 形式的数字，其中 a 和 b 都是实数。它用 z 表示。这里值“a”称为实部，用 Re(z) 表示，“b”称为虚部 Im(z)，以复数形式表示。它也被称为虚数。在复数形式中，a + bi 'i' 是一个称为“iota”的虚数。 i 的值为 (√-1) 或者我们可以写成 i ² = -1。例如，

• 6 + 2i 是复数，其中 6 是实数 (Re)，2i 是虚数 (Im)。
• 9 + 3i 是复数，其中 9 是实数 (Re)，3i 是虚数 (Im)

复数的代数运算

实数和虚数的组合称为复数。复数的代数运算有四种，

• 复数的加法

在这个操作中，我们知道复数的形式是 z = p + iq，其中 a 和 b 是实数。现在，考虑两个复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂ 。因此，复数 z ₁和 z ₂相加。

z₁ + z₂ = (p₁ + p₂) + i(q₁ + q₂)

Some more identities are: 

1. z₁ + z₂ = z
2. z₁ + z₂ = z₂ + z₁
3. (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)
4. z + (-z) = 0
5. (p + iq) + (0 + i0) = p + iq

The resulting complex number real part is the sum of the real part of each complex number. The resulting complex number imaginary part is equal to the sum of the imaginary part of each complex number.

• 复数减法

在复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + ib ₂的这种运算中，因此 z ₁和 z ₂之差即 z ₁ -z ₂定义为：

z₁ – z₂ = (p₁ – p₂) + i(q₁ – q₂)

• 复数的乘法

在这个两个复数的乘法运算中。我们知道 (x + y)(z + w)。

= xz + xw + zy + zw

类似地，复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂

要找到 z ₁ z ₂ ：

z ₁ z ₂ = (p ₁ + iq ₁ )(p ₂ + iq ₂ )

z ₁ z ₂ = p ₁ p ₂ + p ₁ q ₂ i + q ₁ p ₂ i + q ₁ q ₂ i ²

我们知道，i ² = -1，

所以，

z₁ z₂ = (p₁ p₂ – q₁ q₂ ) + i(p₁ q₂ + p₂ q₁ )

Some identities are: 

1. z₁ × z₂ = z
2. z₁.z₂ = z₂.z₁
3. z₁(z₂.z₃) = (z₁.z₂)z₃
4. z₁(z₂ + z₃) = z₁.z₂ + z₁.z₃

• 复数除法

在复数 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂的运算中，因此，要找到 z ₁ /z ₂ ，我们必须将分子和分母与 z ₂的共轭相乘。

复数的除法：

令 z ₁ = p ₁ + iq ₁和 z ₂ = p ₂ + iq ₂ ，

z ₁ /z ₂ = (p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ )

因此，(p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ ) = [(p ₁ + iq ₁ )(p ₂ – iq ₂ )] / [(p ₂ + iq ₂ )(p ₂ – iq ₂ ) ]

(p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ ) = [(p ₁ p ₂ ) – (p ₁ q ₂ i) + (p ₂ q ₁ i) + q ₁ q ₂ )] / [(p ₂ ² + q ₂ ² )]

(p ₁ + iq ₁ )/(p ₂ + iq ₂ ) = [(p ₁ p ₂ ) + (q ₁ q ₂ ) + i(p ₂ q ₁ – p ₁ q ₂ )] / (p ₂ ² + q ₂ ² )

z₁/z₂ = (p₁p₂) + (q₁q₂) / (p₂² + q₂²) + i(p₂q₁ – p₁q₂) / (p₂² + q₂²)

简化 (2 – 14i)(2 + 14i)

解决方案：

Given: (2 – 14i)(2 + 14i)  

= {4 + 28i – 28i – 196i²}

= (4 +196)

= 200 + 0i

类似问题

问题 1：求解 (1 – 5i) / (-3i)？

解决方案：

Given: (1 – 5i) / (-3i)

Denominator standard form i.e -3i = 0 – 3i

Conjugate of denominator 0 – 3i = 0 + 3i

Multiply with the conjugate,

Therefore, {(1 – 5i) / (0 – 3i)} × {(0 + 3i)/(0 + 3i)}

= {(1 – 5i)(0 + 3i)} / {0 – (3i)²}

= {3i – 15i²} / {0 – (9(-1))}

= {3i – 15 (-1)} / 9

= (3i +15) / 9        

= 5/3 + (1/9)i

问题 2：执行指定的操作，并以标准形式写出答案：(a + bi) (c + di)。

解决方案：

Given: (a + bi) (c + di)                 

= ac + bci + adi+ bdi²  

= (ac – bd) + i(bc + ad)

问题 3：执行指定的操作，并以标准形式写出答案：(4 + 4i) × (3 – 4i)。

解决方案：

(4 + 4i) × (3 – 4i)

= (12+ 12i – 16i – 16i2 )

= 12 – 4i +16

= 28 – 4i

问题 4：执行指定的操作，并以标准格式写出答案：(5 + 4i) × (6 – 4i)。

解决方案 ：

= (5 + 4i) × (6 – 4i)

= (30 – 20i + 24i – 16i²)

= 30 + 4i + 16

= 46 + 4i

问题 5：以下问题的答案是什么，(-5i)(4i)(-2)。

解决方案：

Given: (-5i)(4i)(-2)

= -5i × 4i × (-2)

=  -20i² × -2 {i² = -1}

= -20 (-1) × -2

= 20 × -2

= -40 + 0i

问题6：若z ₁ 、z ₂分别为(1 – i)、(-2 + 4i)，求Im(z ₁ z ₂ /z ₁ )。

解决方案：

Given: z₁ = (1 – i)

z₂ = (-2 + 4i)

Now to find Im(z₁z₂/z₁),

Put values of z₁ and z₂

Im(z₁z₂/z₁) = {(1 – i) (-2 + 4i)} / (1 – i)

= {(-2 + 4) + i(2 + 4)} / (1 + i)

= {(2 + 6i) /(1 + i)}                          

= {(2 + 6i) (1 + i)} / {(1 + i)(1 – i)}

= {(2 + 6) + i(6 – 2)} / (1 + 1)

= 4 + 2i

Therefore, Im(z₁z₂/z₁) = 2