求轴的旋转角度以去除方程 9x2 - 2√3xy + 3y2 = 0 中的 xy 项

求轴的旋转角度以去除方程中的 xy 项 9x ² − 2√3xy + 3y ² = 0

当平面与圆锥相交时，会创建圆锥截面，也称为圆锥曲线。这些部分的几何形状由它们交叉的角度决定。因此，圆锥曲线分为四类：圆、椭圆、抛物线和双曲线。这些形式中的每一种都有自己的一组数学特征和方程。

旋转角度

旋转角度是在数学上测量图形围绕给定点（通常是圆心）旋转的量或角度。顺时针旋转被视为负向运动，因此 310°（逆时针）旋转也称为 –50° 旋转（因为 310° + 50° = 360°，一个完整的旋转（转））。多于一圈的反向旋转通常以 360° 为模进行测量，这意味着尽可能多地减去 360°，直到获得小于 360° 的非负测量值。

Angle of rotation = $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2h}{a-b}]$

在方程 9x ² − 2√3xy + 3y ² =0 中找到轴的旋转角度以去除 xy 项。

解决方案：

Given equation: 9x² − 2√3xy + 3y² = 0

Comparing this equation with ax² + 2hxy + by² = 0, we have:

a = 9, h = −√3, b = 3

We know, angle of rotation = $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2h}{a-b}]$

Substituting the values in this formula, we have:

⇒ $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2(-\sqrt3)}{9-3}]$

⇒ θ = $\theta=-\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{1}{\sqrt3}]$

⇒ θ = −½ × π/6

⇒ θ = −π/12 or 5π/12

类似问题

问题 1. 求轴的旋转角度以去除方程 9x ² − 2√3xy + 7y ² = 0 中的 xy 项。

解决方案：

Given equation: 9x² − 2√3xy + 7y²=0

Comparing this equation with ax² + 2hxy + by² = 0, we have:

a = 9, h = −√3, b = 7

We know, angle of rotation = $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2h}{a-b}]$

Substituting the values in this formula, we have:

⇒ $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2(-\sqrt3)}{9-7}]$

⇒ θ = $\theta=-\frac{1}{2}tan^{-1}[\sqrt3]$

⇒ θ = −½ × π/3

⇒ θ = −π/6 or 11π/6

问题 2. 在方程 4x ² + 2√3xy + 2y ² = 0 中找到轴的旋转角度以去除 xy 项。

解决方案：

Given equation: 4x² + 2√3xy + 2y² = 0

Comparing this equation with ax² + 2hxy + by² = 0, we have:

a = 4, h = √3, b = 2

We know, angle of rotation = $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2h}{a-b}]$

Substituting the values in this formula, we have:

⇒ $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2(\sqrt3)}{4-2}]$

⇒ θ = $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\sqrt3]$

⇒ θ = ½ × π/3

⇒ θ = π/6

问题 3. 求轴的旋转角度以去除方程 10x ² + 2√3xy + 8y ² = 0 中的 xy 项。

解决方案：

Given equation: 10x² + 2√3xy + 8y² = 0

Comparing this equation with ax² + 2hxy + by² = 0, we have:

a = 10, h = √3, b = 8

We know, angle of rotation = $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2h}{a-b}]$

Substituting the values in this formula, we have:

⇒ $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2(\sqrt3)}{10-8}]$

⇒ $θ = \frac{1}{2}tan^{-1}[\sqrt3]$

⇒ θ = ½ × π/3

⇒ θ = π/6

问题 4. 求轴的旋转角度以去除方程 12x ² + 2√3xy + 10y ² = 0 中的 xy 项。

解决方案：

Given equation: 12x² + 2√3xy + 10y² = 0

Comparing this equation with ax² + 2hxy + by² = 0, we have:

a = 12, h = √3, b = 10

We know, angle of rotation = $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2h}{a-b}]$

Substituting the values in this formula, we have:

⇒ $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2(\sqrt3)}{12-10}]$

⇒ θ = $\frac{1}{2}tan^{-1}[\sqrt3]$

⇒ θ = ½ × π/3

⇒ θ = π/6

问题 5. 求轴的旋转角度以去除方程 8x ² + 2√3xy + 6y ² = 0 中的 xy 项。

解决方案：

Given equation: 8x² + 2√3xy + 6y² = 0

Comparing this equation with ax² + 2hxy + by² = 0, we have:

a = 8, h = √3, b = 6

We know, angle of rotation = $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2h}{a-b}]$

Substituting the values in this formula, we have:

⇒ $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2(\sqrt3)}{8-6}]$

⇒ $θ = \frac{1}{2}tan^{-1}[\sqrt3]$

⇒ θ = ½ × π/3

⇒ θ = π/6