求解微分方程的预测校正器或修正Euler方法

简介

求解微分方程通常需要使用数值方法，其中最基本的方法之一是欧拉方法。但欧拉方法存在精度低的问题，因此需要使用改进的方法。预测校正器方法和修正欧拉方法都是改进的欧拉方法，它们能够提高数值求解微分方程的精度。

预测校正器方法和修正欧拉方法的基本思想是利用预测值和校正值相结合来提高数值解的精度。预测校正器方法通过先利用欧拉方法计算预测值，再利用更高阶的方法计算校正值，最终得到更为精确的数值解。修正欧拉方法则是在欧拉方法的基础上，通过利用一个预测值和校正值的线性组合来提高精度。

代码片段

下面给出一个使用预测校正器方法求解微分方程的示例代码：

import numpy as np

# 定义微分方程
def f(t, y):
    return y - t**2 + 1

# 定义预测校正器方法
def predictor_corrector(f, y0, t0, tn, n):
    h = (tn-t0)/n
    t = np.linspace(t0, tn, n+1)
    y = np.zeros(n+1)
    y[0] = y0

    # 预测值
    for i in range(n):
        y_hat = y[i] + h*f(t[i], y[i])

        # 校正值
        y[i+1] = y[i] + (h/2)*(f(t[i], y[i]) + f(t[i+1], y_hat))

    return t, y

# 求解微分方程并输出结果
t, y = predictor_corrector(f, 0.5, 0, 2, 10)
for i in range(len(t)):
    print("t=%.2f y=%.9f" % (t[i], y[i]))

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import numpy as np

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