查找数组使得没有子数组具有异或零或 Y

在进行算法设计中，常常需要对一组数据进行操作，而如何找出一组数据使得其任意子数组的异或值不为 0 或 Y 是一个经典的问题。

问题描述

给定一个长度为 n 的正整数数组 arr 和正整数 Y，找一个长度为 n 的二进制数组 b 使得任何非空子数组 a 的异或值都不为零或 Y。

解法

前缀数组

一个简单的暴力解法是枚举所有的子数组并计算其异或值，这种做法的时间复杂度为 $O(n^3)$，在数据规模较大时不可行。

我们可以预处理一个前缀或后缀数组 $pre$ 其中 $pre[i]$ 表示 $arr$ 数组从 $0$ 到 $i-1$ 的异或值，那么对于任意的区间 $[l, r]$ 该区间的异或值可以表示为 $pre[l] \operatorname{xor} pre[r]$，其中 $\operatorname{xor}$ 表示异或操作。

那么如果能找到一个二进制数组 $b$，使得其异或值与任意的 $pre[i]$ 不相等，那么 $b$ 数组一定符合我们的需求。

生成 $b$ 数组的做法如下：

1. 令 $b[0] = 0$。
2. 从 $i=1$ 开始依次计算 $b[i]$ 的值：
   1. 若 $pre[i]$ 与当前的 $b$ 数组异或值不相等，则 $b[i]=0$。
   2. 否则 $b[i]=1$。

得到 $b$ 数组的时间复杂度为 $O(n)$。

线性基

前缀数组的解法在同一时刻只能检查一组数据是否满足条件，若想一次性检查多组数据，可以使用线性基来实现。

一个线性基是由若干个不同的二进制数构成的集合，它可以用异或线性性质来检查某个数是否存在于这个集合中。

具体地，设计一个 $check(x)$ 函数来检查 $pre[i]$ 是否存在于线性基中：

1. 令 $res=0$。
2. 从高位到低位枚举线性基中的每一个数 $b_j$，若 $res$ 左移一位后再加上 $b_j$ 的值小于等于 $x$，则 $res$ 加上 $b_j$ 的值。
3. 若 $res=x$，则 $pre[i]$ 存在于线性基中，否则不存在。

由于线性基中的数是不同的，因此 $check(x)$ 其实就是对线性基中的数进行类似分治的操作。

得到线性基的时间复杂度为 $O(n\log{n})$。

代码实现

前缀数组

def get_b(arr: list[int], y: int) -> list[int]:
    n = len(arr)
    pre = [0] * (n + 1)
    b = [0] * n

    # calculate prefix array
    for i in range(1, n + 1):
        pre[i] = pre[i - 1] ^ arr[i - 1]

    # generate b array
    cur = 0
    for i in range(1, n):
        if pre[i] != cur:
            b[i] = 0
        else:
            b[i] = 1
        cur ^= b[i] * pre[i]
    if pre[n] != cur:
        b[0] = 1
    else:
        b[0] = 0

    return b

线性基

class LinearBasis:
    def __init__(self):
        self.basis = []

    def insert(self, x: int) -> bool:
        for basis in self.basis:
            x = min(x ^ basis, x)
        if x:
            self.basis.append(x)
            return True
        return False

    def check(self, x: int) -> bool:
        for basis in self.basis:
            x = min(x ^ basis, x)
        return x == 0


def get_b(arr: list[int], y: int) -> list[int]:
    n = len(arr)
    pre = [0] * (n + 1)
    lb = LinearBasis()
    b = [0] * n

    # calculate prefix array and initialize linear basis
    for i in range(1, n + 1):
        pre[i] = pre[i - 1] ^ arr[i - 1]
        lb.insert(pre[i])

    # generate b array
    for i in range(n):
        b[i] = lb.check(pre[i]) ^ (pre[i] == y)

    return b

总结

本文介绍了如何查找数组使得没有子数组具有异或零或 Y。前缀数组的做法可以检查某个区间是否满足条件，时间复杂度为 $O(n)$；线性基的做法可以在同一时刻检查多组数据是否满足条件，时间复杂度为 $O(n\log{n})$。两种做法的空间复杂度都为 $O(n)$。