题目介绍

本题为门| GATE CS 2021 |设置 2 |第 58 题。该题为 GATE 计算机科学的考试题目之一，考察了对于哈希表的理解和应用。

题目描述

给定一个二维平面内的 n 个点，试写一个程序来确定由任意三个不同点组成的直线的数量，这三个点必须共线。

输入：二维平面上 n 个点，格式为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$，其中 $1 \leq n \leq 10^5$，$-10^4 \leq x_i, y_i \leq 10^4$。

输出：由任意三个不同点组成的直线的数量。

解题思路

由于这道题目涉及到对于组合数进行计算，我们可以首先想到使用哈希表来快速求解。

我们可以通过对于每个点对 (x,y)，计算所有过该点的直线的斜率。根据数学知识我们可以计算得到斜率的公式为 $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}$。当然，在计算时需要注意这些斜率可能为无穷大，此时需要以不同的方式计算。

具体的，我们通过遍历所有的点对，确定一个点作为公共点，然后计算它和所有其他点之间的斜率。

例如，确定点 $A(x_1, y_1)$ 作为公共点，其余点为 $B(x_2, y_2)$ 和 $C(x_3, y_3)$，我们可以计算得到两个斜率：

$$ k_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, k_{AC} = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}. $$

对于斜率为无穷大的情况，我们可以直接用 float('inf') 来表示。

然后我们就可以将这些斜率映射到哈希表中进行统计，最后再根据组合数学的知识，计算出 $\binom{m}{2}$，即为从所有斜率中选出两个的组合数，作为这个公共点对答案的贡献。

最后再把所有公共点的答案累加起来，就可以得到最终的答案。

代码示例

下面是 Python 的代码实现示例。

from collections import defaultdict
from typing import List


def count_collinear_points(points: List[tuple[int, int]]) -> int:
    slope_map = defaultdict(int)
    n = len(points)
    count = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            x1, y1 = points[i]
            x2, y2 = points[j]
            if x1 == x2:
                slope = float('inf')
            else:
                slope = (y2 - y1) / (x2 - x1)
            slope_map[slope] += 1

    for k in slope_map:
        count += (slope_map[k] * (slope_map[k] - 1)) // 2

    return count

其中 points 为输入的点集，格式为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)$。函数 count_collinear_points 返回所有共线三个点的数量。