门 GATE CS 2021 设置 1 问题 5

这是 GATE CS 2021 的第 1 个设置，第 5 个问题。该问题是关于算法的，需要考生对经典算法和数据结构有一定的了解和掌握。

问题描述

给定一个秩为 $k$ 的矩阵 $M$，其中 $k$ 表示该矩阵行列维数的最小值：

$$M = \begin{bmatrix} M_{1,1} & M_{1,2} & \cdots & M_{1,k} \ M_{2,1} & M_{2,2} & \cdots & M_{2,k} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ M_{k,1} & M_{k,2} & \cdots & M_{k,k} \end{bmatrix}$$

请描述一种时间复杂度为 $O(k\log k)$ 的算法，用于计算矩阵 $M$ 的行列式的值。

算法思路

根据矩阵行列式的定义，可以得到以下公式：

$$\operatorname{det}(M) = \sum_{\sigma \in S_k}(-1)^{\operatorname{sgn}(\sigma)}\prod_{i=1}^k M_{i,\sigma_i}$$

其中 $S_k$ 表示所有 $k$ 阶置换的集合，$\operatorname{sgn}(\sigma)$ 表示置换 $\sigma$ 的符号（即逆序对个数的奇偶性）。

可以将行列式展开为按第一行（或第一列）展开的形式：

$$\operatorname{det}(M) = \sum_{j=1}^k (-1)^{1+j}M_{1,j}\operatorname{det}(M_{-1,-j})$$

其中 $M_{-1,-j}$ 表示去掉第一行和第 $j$ 列的 $(k-1)\times (k-1)$ 矩阵，即：

$$M_{-1,-j} = \begin{bmatrix} M_{2,2} & \cdots & M_{2,j-1} & M_{2,j+1} & \cdots & M_{2,k} \ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ M_{k,2} & \cdots & M_{k,j-1} & M_{k,j+1} & \cdots & M_{k,k} \end{bmatrix}$$

这样就可以递归地计算矩阵行列式的值了。总时间复杂度为 $O(k\log k)$。

算法实现

下面给出使用 Python 实现的代码片段：

def det(M):
    """
    计算矩阵 M 的行列式的值
    """
    k = len(M)
    if k == 1:  # 递归结束条件
        return M[0][0]
    elif k == 2:
        return M[0][0] * M[1][1] - M[0][1] * M[1][0]
    else:
        s = 0  # 累加和
        for j in range(k):
            s += (-1) ** (1 + j) * M[0][j] * det([row[:j] + row[j+1:] for row in M[1:]])
        return s

该算法使用了 Python 的列表推导式来生成子矩阵，使用了 $O(1)$ 的空间，在输入矩阵上进行了原地操作，时间复杂度为 $O(k\log k)$。