与其他二进制字符串的XOR为0的循环置换计数

在计算机科学中，循环置换是一种重要的置换类型，它可以将一个字符串的各个字符循环移动若干个位置。在这里，我们来探讨一种特殊情况下的循环置换计数问题：给定一组二进制字符串，求其中有多少个字符串可以通过若干次循环置换后，与其他所有字符串进行XOR运算的结果都为0。

算法简述

我们可以使用一个布尔数组 $visited$ 来记录当前字符串是否已经被访问过。对于每个字符串 $s_i$，我们可以将其与已经访问过的字符串 $s_j$ 进行逐一的XOR运算，并判断结果是否为0，如果不是，则不能满足条件。如果所有的XOR运算的结果都为0，则说明当前字符串满足条件，并将 $visited_i$ 标记为 $true$。最后，通过对 $visited$ 数组进行统计，即可得到满足条件的字符串数量。

由于需要逐一进行字符串的XOR运算，因此时间复杂度较高，为 $O(n^3)$，其中 $n$ 为字符串个数。如果字符串长度太长，那么时间复杂度会非常高，因此需要使用一些优化手段，例如哈希表，将时间复杂度尽可能地减小。

代码实现

下面是一个Python实现的样例代码，其中使用了哈希表对重复的计算进行了优化：

def count_circular_permutations(strings):
    n = len(strings)
    visited = [False] * n
    s_hash = [hash(s) for s in strings]
    count = 0
    for i in range(n):
        if visited[i]:
            continue
        visited[i] = True
        flag = True
        for j in range(n):
            if i == j or visited[j]:
                continue
            xor_result = s_hash[i] ^ s_hash[j]
            for k in range(1, len(strings[i])):
                if xor_result != (s_hash[i] >> k | s_hash[i] << (len(strings[i]) - k)) ^ s_hash[j]:
                    flag = False
                    break
            if not flag:
                break
            visited[j] = True
        if flag:
            count += 1
    return count

解释

• strings: 输入的字符串列表。
• n: 字符串个数。
• visited: 记录字符串是否已经被访问过的布尔数组。
• s_hash: 记录每个字符串的哈希值，用于优化计算。
• count: 符合条件的字符串数量。
• i/j: 两个循环变量，用于对每两个字符串进行XOR计算。
• xor_result: 两个字符串的XOR运算的结果。
• k: 循环移位的位数。
• flag: 标记当前字符串是否满足条件。如果有任意一次XOR运算的结果不为0，则置为False。

总结

本题是一道较为简单的循环置换计数题目，但需要注意时间复杂度的问题。在实际应用过程中，需要根据实际数据大小和操作时间可接受范围来选择合适的算法。此外，在处理含有大量字符串的时候，哈希值可以有效地减小时间复杂度，是一种非常实用的优化手段。