2D转换|物体旋转

在计算机图形学中，2D转换是指将平面上的一个点、一条线段或一个多边形进行平移、旋转、缩放等变换的技术。其中，物体旋转是其中一种最基本的变换。

什么是物体旋转？

物体旋转是指将物体绕着一个固定点或者固定的轴进行旋转的变换操作。在二维空间中，旋转可以看做是平面内的旋转变换。

物体旋转的三种方式

在计算机图形学中，物体旋转通常有三种变换方式：绕点旋转、绕任意轴旋转和绕固定轴旋转。

1. 绕点旋转

绕点旋转是指将物体围绕一个固定的点（也称为旋转中心）进行旋转变换。在二维空间中，点旋转可以看做是平面内的旋转变换。

对于一个点(x, y)，绕点P(px, py)旋转α角度可以通过以下公式进行计算：

$$ \begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-px \ y-py \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} px \ py \end{bmatrix} $$

2. 绕任意轴旋转

绕任意轴旋转是指将物体围绕一个在空间中任意方向的轴进行旋转变换。这种变换可以看做是在三维空间中的旋转变换。

对于一个点(x, y, z)，绕过点P(px,py,pz)，方向为向量V(vx,vy,vz)旋转α角度可以通过以下公式进行计算：

$$ \begin{bmatrix} u_xu_x(1-cos\alpha)+cos\alpha & u_xu_y(1-cos\alpha)-u_zsin\alpha & u_xu_z(1-cos\alpha)+u_ysin\alpha \ u_xu_y(1-cos\alpha)+u_zsin\alpha & u_yu_y(1-cos\alpha)+cos\alpha & u_yu_z(1-cos\alpha)-u_xsin\alpha \ u_xu_z(1-cos\alpha)-u_ysin\alpha & u_yu_z(1-cos\alpha)+u_xsin\alpha & u_zu_z(1-cos\alpha)+cos\alpha \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-px \ y-py \ z-pz \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} px \ py \ pz \end{bmatrix} $$

其中，向量V的大小为1，且u为单位向量。

3. 绕固定轴旋转

绕固定轴旋转是指将物体围绕一个预先定义好的轴进行旋转变换。这种变换虽然比较简单，但是只能进行固定轴的旋转变换。

对于一个点(x, y, z)，绕X轴旋转α角度可以通过以下公式进行计算：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & cos\alpha & -sin\alpha \ 0 & sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \end{bmatrix} $$

绕Y轴旋转和绕Z轴旋转同理。

总结

物体旋转是非常重要的图形变换操作，它可以使得计算机绘制出更加真实的图像。在实际的应用中，根据情况选择不同的旋转方式可以提升效率和效果。