题目描述

本题是2014年GATE-CS的第56题。给定一个n个元素的数组A和一个整数k，设计一个算法对数组进行排序，使得在排序后的数组中，每一个元素与其相邻的元素的差的绝对值都不超过k。如果有多种可能的排序方式，则要返回字典序最小的一种。

解法思路

这道题可以用贪心算法和堆排序两种方法来解决。

首先考虑贪心算法。我们一开始将数组按照升序排列。然后从左往右遍历数组，在每个位置处，我们选择当前位置与之前k个位置中的最小值进行交换。

这个贪心算法的正确性可以这样证明：我们假设存在一种更好的排序方式，那么一定存在一对相邻元素在这种排序方式下的距离比贪心算法下更小。我们考虑这一对相邻元素在贪心算法中被交换的过程。可以发现，这一对相邻元素一定是经过了多次交换才到达当前的位置，在这个过程中可能存在跨越了k个元素的交换。因此，我们可以直接交换这一对相邻元素，使得它们的距离更近。尝试进行这样的交换，也不会打破其他元素之间的相对顺序，因此这种排序方式也是合法的。

但是，这个贪心算法的时间复杂度是O(n^2)，无法满足大规模数据的要求，因此我们需要找到更高效的算法。

利用堆排序算法，我们可以在O(nlogn)的时间复杂度内解决这个问题。我们依然首先将数组按照升序排列。然后，我们从左往右遍历数组，在每个位置处，维护当前位置前k个位置中的最小值，并用堆来实现。我们将当前位置与前面k个位置的最小值进行比较，如果当前位置比它们中最小的小，就将它们中最小的值放到当前位置，而将当前位置的值放入堆中。这样做能够保证当前位置与前后两个位置的差值都不超过k。我们用堆来维护前k+1个元素的顺序，因此一个元素在堆中的位置改变的次数最多为O(logk)，因此整个算法的时间复杂度为O(nlogk)。

代码实现

下面是利用堆排序算法实现的代码片段。请注意，由于这是一个题目中的子问题，因此代码需要进行简化以适应测试。实际使用中可能需要添加更多边界处理和错误检查。

import heapq

def sort_k_difference_array(A, k):
    n = len(A)
    sorted_A = sorted(A) # 一开始按照升序排列

    heap = [] # 用堆来维护前k+1个元素的顺序
    for i in range(k+1):
        heapq.heappush(heap, sorted_A[i])

    for i in range(n):
        A[i] = heapq.heappop(heap) # 取出堆中最小的值
        if i+k+1 < n: # 如果当前位置之后还有k个位置，则将它们中最小的值放入堆中
            heapq.heappush(heap, sorted_A[i+k+1])

    return A

总结

这道题是一个非常典型的贪心算法和堆排序算法的应用。贪心算法优美而朴素，但时间复杂度较高，适用于小规模数据。堆排序算法更加高效，能够处理大规模数据，但更为复杂。两种算法都非常值得我们学习和掌握。