求方阵的特征多项式

在线性代数中，方阵的特征多项式是一个非常重要的概念。它由方阵特有的性质构成，可以描述方阵的特征根，从而用于解析方程组和求解特征向量等等问题。

定义

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则多项式 $P_A(\lambda)$ 称为 $A$ 的特征多项式，它定义为：

$$P_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$$

其中，$\det$ 表示行列式运算，$\lambda$ 是未知数。

特征值、特征向量和特征多项式的关系

令 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 是它的一个特征根，即满足方程 $|A-\lambda I|=0$ 的 $\lambda$，则 $v\ne0$ 是方程组 $(A-\lambda I)v=0$ 的一个非零解向量，称 $v$ 为 $A$ 对应于特征根 $\lambda$ 的特征向量。

对于方阵 $n$ 阶方阵 $A$，它恰有 $n$ 个特征值，它的特征多项式 $P_A(\lambda)$ 的零根就是 $A$ 的所有特征值。

求解特征多项式

给出一个 Python 实例，用于计算方阵的特征多项式。

import numpy as np

def char_poly(A):
    n = A.shape[0]
    I = np.eye(n)
    return np.linalg.det(A - I)

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

print("A:\n", A)
print("Characteristic polynomial:\n", char_poly(A))

在这个例子中，我们使用 NumPy 库来进行矩阵运算。首先，我们定义一个名为 char_poly 的函数来计算特征多项式。它十分简单，只需调用 numpy.linalg.det 函数来计算行列式。

在主程序中，我们定义了一个 $3\times3$ 的方阵 $A$ 并计算了它的特征多项式。

运行代码后，输出如下：

A:
 [[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
Characteristic polynomial:
 0.0

说明这个 $3\times3$ 的方阵 $A$ 的特征多项式为 $0$。

总结

在矩阵论中，特征值和特征向量是重要的概念，特征多项式是描述它们的重要工具。虽然本文只讨论了简单的方阵特殊情况，但实际上特征多项式在很多领域有广泛的应用，例如在图像处理、信号处理、地震学、量子力学等方面。

特征多项式的求解可以使用 NumPy 库中的函数，也可以手动计算行列式。如果你对矩阵论感兴趣，可以尝试使用其他编程语言如 MATLAB 来实现计算特征多项式的算法，以加深自己的理解。