多项式的类型

在数学中，代数表达式是由整数常量，变量和代数运算构成的表达式。本文涉及单项式，二项式和多项式。

单项式

只包含一个非零项的代数表达式称为一项式。单项式是多项式的一种，例如二项式和三项式，它是仅具有一个单项(非零)的代数表达式。它仅包含一个术语，因此可以轻松进行加，减和乘运算。

例子：

• g is a monomial in one variable.
• 9cb² is a monomial in two variables c and b.
• 3a²b is monomial in two variables a and b.
• 4ab/5m is monomial in three variables a, b, m.
• -2m is a monomial in one variable m.

单项式表达式的不同部分是：

• 变量：单项表达式中出现的字母是变量。
• 系数：表达式中变量前面的数字或数字乘以变量。
• 字面量部分：与指数值一起出现的字母是字面量部分。

让我们考虑一个示例6xy ²是一个单项式表达式，

• 系数为6
• 变量是x和y
• 单项式的表达度= 1 + 2 = 3
• 字面量部分是xy ²

单项学位

表达式中变量的指数值之和称为单项次数或单项次数。如果变量没有任何指数值，则其隐式值为1。

例子：

4xy³, In this exponent value of x is 1. 

degree of expression is 3 + 1 = 4.

单项操作

对单项式执行的算术运算是加法，减法，乘法和除法。

两个单项式的加法：

当我们添加两个具有相同字面量部分的单项式时，将导致单项式的表达。

例子：

Addition of 2xy + 4xy = 6xy

两个单项式减法：

当我们减去两个具有相同字面量部分的单项式时，将导致单项式表达。

Substraction of 6ab – 4ab = 2ab.

两个单项式的乘法：

当我们将两个单项式与相同的字面量部分相乘时，将导致单项式的表达。

Product of 2a²b * 6x = 12a²bx

两个单项式的划分：

当我们用相同的字面量部分划分两个单项式时，将导致单项式的表达。

Division of x⁶ by x² = x⁴

二项式

包含两个非零项的代数表达式称为二项式。它以ax ^m + bx ⁿ的形式表示，其中a和b的数字，x是可变的，m和n是非负的不同整数。

例子：

• g + 3m is a binomial in two variables g and m.
• 3a⁴ – 5b²  is a binomial in two variables a and b.
• -4x² – 9y is a binomial in two variables x and y.
• a²/4 + b/2 is a binomial in two variables a and b.

二项式方程

包含一个或多个二项式的任何方程式都称为二项式方程式。

例子：

v = u + 1/2 at²

二项式运算

对二项式的基本运算很少

• 因式分解
• 添加
• 减法
• 乘法
• 提升至第n次幂
• 转换为低阶二项式

因式分解：

二项式可以表示为其他两个的乘积。

例子：

a² – b² can be expressed as (a + b) (a – b).

添加：

如果两个二项式都包含相同的变量和相同的指数，则可以添加两个二项式。

例子：

(2a² + 3b) + (4a² + 5b) = 6a² + 8b

减法：

它类似于加法，两个二项式应包含相同的变量和指数。

例子：

(6a² + 3b) – (2a² + 5b) = 4a² – 2b

乘法：

当我们将两个二项式相乘时，将使用分配属性，并且以四个项结束。在该方法中，通过将第一因子的每个项与第二因子相乘来进行乘法。

例子：

(ax + b) (mx + n) can be expressed as amx² + (an + mb) x + bn

提升至n次方：

二项式可以提高到n次方，并以(x + y) ⁿ的形式表示

转换为低阶二项式：

高阶二项式可以分解为低阶二项式，例如立方体可以分解为平方和另一个单项式的乘积。

例子：

a³ + b³ can be expressed as (a + b) (a² – ab + b²).

多项式

包含一个，两个或多个项的代数表达式被称为多项式。

例子：

• 3a + 4b is a polynomial of two terms a and b.
• 2a³ + 3b² + 4m – 5x + 6k  is a polynomial of five terms in five variables .
• a + 2a² + 3a³ + 4a⁴ + 5a⁵ + 6a⁶  is a polynomial of six terms in one variable.

多项式的类型

• 单项式：仅包含一个非零项的代数表达式称为单项式。单项式是多项式的一种，例如二项式和三项式，它是仅具有一个单项(非零)的代数表达式。
• 二项式：包含两个非零项的代数表达式称为二项式。它以ax ^m + bx ⁿ的形式表示，其中a和b的数字，x是可变的，m和n是非负的不同整数。
• 三叉：一个包含三个非零项是被称为三项的代数表达式。例如，a + b + c是三个变量a，b和c的三项式。

多项式的次数

在多项式方程中，具有最高指数的变量称为多项式的次数。

例子：

3a⁵ + 4a³ – 2a + 6

The degree of above polynomial is 5.

多项式方程

表示多项式方程的标准形式是将最高次数放在首位，将常数项放在最后。

例子：

x⁴ + 2x³ + 3x² + x + 5

求解多项式

通常，我们可以使用基本代数和因式分解概念轻松地求解多项式，而求解多项式的第一步是将右侧设置为0。

求解线性多项式：

1. 第一步是隔离可变项
2. 接下来，使等式等于0
3. 使用基本的代数运算来解决。

示例：解决4a – 8?

解决方案：

4a – 2 = 0

=> 4a = 8

=> a = 8 / 4

=> a = 2

求解二次多项式：

1. 第一步是以度的降序重写表达式。
2. 接下来，将其等于0
3. 执行多项式因式分解。

例如：求解4a ² – 4a + a ³ – 16?

解决方案：

Rearranging, a³ + 4a² – 4a – 16

=> a³ + 4a² – 4a – 16 = 0

=> a² (a + 4) – 4 (a + 4) = 0

=> (a + 4) (a² – 4) = 0

Solution is a = -4 and a² = 4

应用领域

单项式乘法

示例：将4a和3ba ³相乘?

解决方案：

First we need to group Coefficients and Variables

(4 * 3) (a * a³) (b)

Apply exponential law,

12a¹⁺³b

12a⁴b

三个或更多单项式的乘法

例如：乘法^{2，2AB 3，4AB?}

解决方案：

(4 * 2) (a² * a * a) (b³ * b)

8a⁴b⁴

单项式乘二项式

示例：将2a乘以+ 4?

解决方案：

(2a * a) + (2a * 4)

2a² + 8a

多项式乘以三项式

例如：将3a乘以2a ² + 3ab + 4?

解决方案：

(3a * 2a²) + (3a * 3ab) + (3a * 4)

6a³ + 9a²b + 12a

二项式乘以二项式

例如：分别乘以4a + 3和2a +1?

解决方案：

4a (2a + 1) + 3 (2a + 1)  [ now its like multiplication of monomial and binomial ]

8a² + 4a + 6a + 3

8a² + 10a + 3

二项式和三项式的相乘

示例：将4a +1和² + 2a +1相乘?

解决方案：

4a (a² + 2a + 1) + 1 (a² + 2a + 1)

4a² + 8a + 4a + a² + 2a + 1

5a² + 14a + 1

多项式和单项式的相乘

例如：将a ³ + a ² + a + b + 3和4a相乘?

解决方案：

(4a * a³) + (a² * 4a) + (a * 4a) + (b * 4a) + (3 * 4a)

4a⁴ + 4a³ + 4a² + 4ab + 12a

多项式和多项式的乘法

示例：将2x ⁴ + 3x ⁵ + 4和2x +1相乘?

解决方案：

(2x⁴ * 2x) + (3x⁵ * 2x) + (4 * 2x) + (2x⁴ * 1) + (3x⁵ * 1) + (4 * 1)

2x⁵ + 6x⁶ + 8x + 2x⁴ + 3x⁵ + 4

6x⁶ + 5x⁵ + 2x⁴ + 8x + 4