一个变量中的多项式–多项式|第9类数学

多项式源自词“ poly”(表示“许多”)和词“ nomial”(表示“项”)。在数学中，多项式表达式由变量组成，这些变量也称为不确定性和系数。多项式是具有一个或多个非零系数项的表达式。多项式可以具有多个项。在多项式中，其中的每个表达式都称为一项。假设^×2 + 5×+ 2多项式，则表达式X ^2，5×，和2是多项式的条款。多项式的每个项都有一个系数。例如，如果2x +1是多项式，则x的系数是2。但是在本文中，er将讨论一个变量中的多项式。一般来说，

The algebraic expressions with only one variable are known as Polynomials in one variable.

例子：

1. P(x) = 4x – 3
2. G(y) = y⁴ – y² + 2y + 9 

多项式的阶数

代数表达式中变量的最高指数称为多项式次数。

例子

1. P(x) = x³ – 5x² + 9x + 16     (Degree = 3, because the highest exponent is 3 here)
2. Q(x) = 5      (Degree = 0)

评估多项式

给定变量值的多项式值称为多项式求值。

例子

问题1：评估多项式x ² + 3?

解决方案：

Let, p(x) = x² + 3 

Value of polynomial at x = 3 will be:  

p(3) = (3)² + 3 

=> p(3) = 9 + 3

=> p(3) = 12

问题2：评估多项式x ² + 2x + 6?

解决方案：

Let, q(x) = x² + 2x + 6

Value of q(x) at x = 0

q(0) = (0)³ + 2(0) + 6

=> q(0) = 6

多项式的因数

给定多项式(例如P(x))的因数是任何均分为P(x)的多项式。多项式的因式分解是多项式在乘积形式中的表示。

例子

x ² – 4 = (x – 2)(x + 2)

这里，(x – 2)和(x + 2)是多项式x ² – 4的因数，并且在x = 2和x = -2时，多项式的值为0。因此，x = 2和x =- 2被称为多项式的零。多项式的零是多项式中变量的值，其中多项式的值变为0。

例子

1. p(x) = 2x – 4

    At x = 2 value of polynomial will be 0 and (x – 2) will be factor of p(x).

2. q(x) = (x – 5)²

    At x = 5 value of polynomial will be 0 and (x – 5) will be a factor of p(x).

多项式的求因和零

多项式的零点可以通过将给定的多项式等于Zero(0)并求解给定变量的方程来找到。

例子

问题1.查找多项式f(x)= 5x – 15的因子和零?

解决方案：

Given Polynomial, f(x) = 5x – 15 

Now, Equating above polynomial with 0

5x – 15 = 0

=> 5(x – 3) = 0

=> x – 3 =0

=> x = 3

Therefore, x = 3 is the Zero of the Polynomial (f(x) = 5x – 15) or the Root of the equation (5x – 15 = 0) and (x – 3) is the Factor of the given polynomial. So, f(x) can be represented as: 

f(x) = 5(x – 3)

问题2.多项式f(x)= 2x ² – x – 6的因子和零?

解决方案：

Given Polynomial, f(x) = 2x² – x – 6 

Now, Equating above polynomial with 0

2x² – x – 6 = 0

=> 2x ² – 4x + 3x – 6 = 0 

=> 2x(x – 2) + 3(x – 2) = 0 

=> (x – 2)(2x + 3) = 0 

So, x – 2 = 0 or  2x + 3 = 0

Therefore, x = 2 and x = -3/2 are the Zeroes of the Polynomial (f(x) = 2x ² – x – 6) or the Roots of the equation (2x ² – x – 6 = 0) and (x – 2) & (2x + 3) are Factors of the given polynomial. So, f(x) can be represented as:

f(x) = (x – 2)(2x + 3)

多项式的图形表示

多项式可以通过逐点绘制在方格纸上表示。让我们通过在方格纸上绘制一些图形来查看一些示例。

例子

问题1.绘制多项式f(x)= 2x的图。

解决方案：

x	0	1	2	3	-1
f(x)	0	2	4	6	-2

多项式的图： f(x)= 2x

多项式的图形在X轴上切开的点(在X轴上)称为多项式的零。

问题2.绘制多项式f(x)= x – 3的图。

解决方案：

x	0	1	2	3	4	-1	-2
f(x)	-3	-2	-1	0	1	-4	-5

多项式图： f(x)= x – 3