给定数字总和和数字平方和的最小数

在计算机科学和数学中，有一些经典问题需要找到一组数字的最小值，使得它们的总和和平方和等于给定的值。这个问题在统计学和机器学习中也有应用，例如当我们要最小化误差或者最小化目标函数时。

在本文中，我们将探索这个问题并介绍一些解决它的算法。

这个问题的定义

给定数字总和 $s$ 和数字平方和 $ss$，我们需要找到一组数字 $x_i$ 使得它们的总和为 $s$，平方和为 $ss$，即：

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} x_{i} &= s \ \sum_{i=1}^{n} x_{i}^2 &= ss \end{aligned} $$

这个问题可以用暴力算法解决，即通过枚举数字 $x_i$ 的所有可能组合来找到最优解。但是，当数字数量增加时，算法的时间复杂度变得非常高。因此，我们需要更高效的方法来解决这个问题。

求解方法

克莱姆法则

克莱姆法则是一个用于求解线性方程组的经典算法。对于 $n$ 个未知数和 $n$ 个方程的线性方程组，我们可以使用克莱姆法则来求解。

对于本问题，我们可以将其转化为一个线性方程组。假设我们已经找到 $n-1$ 个数字，它们的和为 $s'$，平方和为 $ss'$。然后，我们可以使用以下公式来求解第 $n$ 个数字 $x_n$：

$$ x_n = \frac{s - s'}{n} = \frac{ss - ss'}{s - s'} $$

根据这个公式，我们可以通过迭代的方式来依次求解 $x_1$ 到 $x_n$。由于每次迭代都涉及到对之前数字的求和和平方和，因此此算法的时间复杂度为 $O(n^2)$。

牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种用于求解方程的迭代算法。对于本问题，我们可以使用它来求解 $x_n$。我们可以将问题转化为以下形式：

$$x_n^2 - 2x_ns' + (ss' + (s - s')^2/n) = 0$$

其中，$s'$ 和 $ss'$ 分别是前 $n-1$ 个数字的和和平方和。我们可以通过牛顿迭代法来逐步逼近 $x_n$ 的最优解。

具体来说，我们首先猜测 $x_n$ 的一个初始值 $x_0$，然后使用以下公式来逐步迭代：

$$x_{k+1} = x_k - \frac{(x_k^2 - 2x_ks' + (ss' + (s - s')^2/n))}{2x_k - 2s'}$$

当 $x_{k+1}$ 变得足够接近于最优解时，我们可以停止迭代。该算法的时间复杂度为 $O(n)$，因此比暴力算法和克莱姆法则更快。

实现

下面是使用 Python 语言实现克莱姆法则和牛顿迭代法的代码片段：

# 克莱姆法则
def solve_cramer(s, ss):
    n = len(s)
    d = [[0] * (n + 1) for i in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            d[i][j] = (i + 1) ** (2 * j)
        d[i][n] = s[i]
    det = 1.0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            while abs(d[i][i]) < 1e-6:
                d[i], d[j] = d[j], d[i]
                det = -det
            t = d[j][i] / d[i][i]
            for k in range(n + 1):
                d[j][k] -= t * d[i][k]
    for i in range(n):
        det *= d[i][i]
    return [(d[i][n] / d[i][i]) for i in range(n)]


# 牛顿迭代法
def solve_newton(s, ss):
    n = len(s)
    s_prime = sum(s[:-1])
    ss_prime = sum(ss[:-1])
    x = s[-1]
    for i in range(10):
        x = x - (x ** 2 - 2 * x * s_prime + ss_prime + ((s[-1] - s_prime) ** 2) / (n - 1)) / (2 * x - 2 * s_prime)
    return list(s[:-1]) + [x]

# 用法示例
s = [1, 2, 3, 4, 5]
ss = [1, 5, 14, 30, 55]
print(solve_cramer(s, ss))
print(solve_newton(s, ss))

以上代码可以求解给定数字列表 [1, 2, 3, 4, 5] 的总和为 15，平方和为 55 的情况下，对应的每个数字的最小值。