使用 C 进行离散傅立叶变换及其逆变换

几十年来，人们一直无法找到计算傅立叶变换的最完美方法。早在 1800 年代，高斯就已经提出了他的想法，一个世纪后，一些研究人员也是如此，但解决方案在于必须解决离散傅立叶变换。这是一个相当好的近似值，通过它可以真正接近描述连续时间信号并且它工作得很好（计算机和整个经济一直在使用它）即使它是有限的并且不受时间限制或频带限制同时。更重要的是，它没有考虑信号中的所有样本。尽管如此，它还是有效的，并且是公认的成功。

离散傅里叶变换（DFT）：理解离散傅里叶变换是这里的基本目标。逆只是另一个的数学重排，非常简单。傅立叶变换正在将函数从时域转换为频率。人们可能会断言，离散傅立叶变换的作用相同，但离散化信号除外。但是，不要将其与离散时间傅立叶变换混淆。差异解释如下：

• DFT 是针对有限长度的序列计算的，而 DTFT 是针对无限长度的。这就是 DTFT 中的总和范围从 -∞ 到 +∞ 的原因。
• DTFT的特征在于本质上是连续的输出频率，即ω 。另一方面，DFT 给出具有离散频率的输出。
• DTFT 仅对于ω 的采样值等于 DFT。这是我们从另一个中推导出一个的唯一方法。

DFT 和 IDFT 的一般表达式如下。请注意，k 的整数值是从 0 开始计算到 N-1 的。 k 只是一个变量，用于引用函数的采样值。但是，由于 IDFT 是 DFT 的倒数，因此不使用 k。相反，使用“n”。许多人感到困惑的是哪个是哪个。将 DFT 与大写字母“X”和 IDFT 与小写字母“x”关联起来，将其视为一种无压力的活动。

DFT 方程：

$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}\ x[n].e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$

IDFT 方程：

$x(n) = \sum_{k=0}^{N-1}\ X[k].e^{\frac{j2\pi kn}{N}}$

对上述表达式进行编码时首先想到的是从求和开始。实际上，这是通过运行循环并迭代n （在 DFT 中）和k （在 IDFT 中）的不同值来实现的。请注意如何还必须找到不同的输出值。当 k=1 时，可以很容易地计算出 X[k=1]。但是，在其他应用中，例如绘制幅度谱，也必须针对不同的 k 值计算相同的值。因此，必须引入两个循环或一对嵌套循环。

另一个问题是如何翻译表达式的后半部分，即欧拉常数的复数指数。读者必须回忆一下这个公式，该公式有助于用正弦和余弦来描述将欧拉常数提升为复数的公式。这是如下——

$e^{i\theta}=cos(\theta)\:-\:jsin(\theta)$

这让我们将求和项的后半部分解释如下：

$e^{-j2\pi kn/N} = cos(\frac{2\pi kn}{N})\:-\:jsin(\frac{2\pi kn}{N})$

可以导入库（在 C 的情况下），在编写此表达式时可能会在确保代码易读性方面遇到问题。然而，一点数学洞察力和简单的转换是这里的完美要求。许多人会同意。请注意，这会产生表达式的虚部和实部——余弦项是实数，正弦项都是虚数。也可以实现一个相当直观的观点——将序列表示为矩阵，并使用 DFT 和 IDFT 的向量形式进行计算。这最好在 MATLAB 中解决。

算法（DFT）：

• 初始化所有需要的库。
• 提示用户在 DFT 中输入点数。
• 现在您可以初始化数组并相应地要求输入序列。这纯粹是由于无法在 C 中声明空数组。动态内存分配是解决方案之一。但是，简单地重新排序提示本身就是一个公平的解决方案。
• 实现 2 个循环，为特定的 k 和 n 值计算 X(k) 的值。请记住，欧拉公式将用于替代e ^-j2kπn/N 。这需要一个除法，我们分别计算表达式的实部和虚部。
• 运行计算时显示结果。

下面是实现上述方法的 C 程序：

C

// C program for the above approach
#include 
#include 
  
// Function to calculate the DFT
void calculateDFT(int len)
{
    int xn[len];
    float Xr[len];
    float Xi[len];
    int i, k, n, N = 0;
  
    for (i = 0; i < len; i++) {
  
        printf("Enter the value "
               "of x[%d]: ",
               i);
        scanf("%d", &xn[i]);
    }
  
    printf("Enter the number of "
           "points in the DFT: ");
    scanf("%d", &N);
    for (k = 0; k < N; k++) {
        Xr[k] = 0;
        Xi[k] = 0;
        for (n = 0; n < len; n++) {
            Xr[k]
                = (Xr[k]
                   + xn[n] * cos(2 * 3.141592 * k * n / N));
            Xi[k]
                = (Xi[k]
                   + xn[n] * sin(2 * 3.141592 * k * n / N));
        }
  
        printf("(%f) + j(%f)\n",
               Xr[k], Xi[k]);
    }
}
  
// Driver Code
int main()
{
    int len = 0;
    printf("Enter the length of "
           "the sequence: ");
    scanf("%d4", &len);
    calculateDFT(len);
  
    return 0;
}

输入：

>> Enter the length of the sequence: 4
>> Enter the value of x[0]: 1
>> Enter the value of x[1]: 4
>> Enter the value of x[2]: 9
>> Enter the value of x[3]: 16
>> Enter the number of points in the DFT: 4

输出：

算法（IDFT）：

• 初始化所有需要的库。
• 提示用户输入序列的长度。这将被替换为 N 的值。初始化负责存储输入的实部和虚部的数组。
• 现在使用“for”循环一一获取序列的实部和虚部。请记住，我们实际上是在颠倒为 DFT 计算定义的过程。
• 定义θ。 Theta 是在 Euler 对 e ^iθ的转换中 e 升高的指数，即 theta = 2kπn/N。
• 使用余弦和正弦计算 x[n]。使用表达式中涉及的符号时要小心。
• 将得到的输出除以长度或乘以1/N 并打印结果。

下面是实现上述方法的 C 程序：

C

// C program for the above approach
  
#include 
#include 
  
// Function to calculate the inverse
// discrete fourier transformation
void calculate_IDFT(int len)
{
    int x[len];
    float Xr[len];
    float Xi[len];
    int i, k, n, N = 0;
    for (i = 0; i < len; i++) {
        printf(
            "Enter the real and "
            "imaginary bits of X(%d): ",
            i);
        scanf("%f %f", &Xr[i], &Xi[i]);
    }
  
    printf("Enter the number of "
           "points in the IDFT: ");
    scanf("%d", &N);
  
    for (n = 0; n < N; n++) {
        x[n] = 0;
        for (k = 0; k < N; k++) {
            int theta = (2 * 3.141592 * k * n) / N;
            x[n] = x[n] + Xr[k] * cos(theta)
                   + Xi[k] * sin(theta);
        }
        x[n] = x[n] / N;
        printf("\n x[%d] = %d\n", n,
               x[n]);
    }
  
    printf("\n-----------x[n]------------\n\n");
}
  
// Driver Code
int main()
{
    int len = 0;
    printf("Enter the length of "
           "the sequence: ");
    scanf("%d", &len);
    calculate_IDFT(len);
  
    return 0;
}

输入：

>> Enter the length of the sequence: 4
>> Enter the real and imaginary bits of X(0): 30 0
>> Enter the real and imaginary bits of X(1): -8 -11
>> Enter the real and imaginary bits of X(2): -10 0
>> Enter the real and imaginary bits of X(3): -8 12
>> Enter the number of points in the IDFT: 4

之前获得的 DFT 的输出（不完全是；预计会有一些偏差）用作 IDFT 的输入。

输出：

想要从精选的视频和练习题中学习，请查看C 基础到高级C 基础课程。