快速傅立叶变换用于多项式乘法

什么是多项式乘法？

多项式乘法是指将两个或多个多项式相乘的运算，例如 (x+1)*(x+2) = x^2+3x+2。

传统多项式乘法的问题

传统的多项式乘法需要进行 n^2 次乘法运算，当多项式的次数很高时，运算的时间会增加很多。

什么是快速傅立叶变换？

快速傅立叶变换（FFT）是一种高效的算法，可以将多项式乘法的时间复杂度优化到 n*log(n)。FFT算法通过将多项式分解为极小的子问题（点值），从而降低了计算复杂度。

FFT算法实现多项式乘法

下面是一个简单的Python代码，使用FFT算法实现多项式乘法：

import numpy as np

def poly_mult(p, q):
    """
    Multiply two polynomials p and q using FFT.
    """
    n = len(p)
    m = len(q)
    size = 1 << (n + m - 1).bit_length()  # get next power of 2
    p = np.pad(p, (0, size - n))          # zero-pad p
    q = np.pad(q, (0, size - m))          # zero-pad q
   
    # compute FFT of p and q
    p_fft = np.fft.fft(p)
    q_fft = np.fft.fft(q)

    # point-wise multiplication of p_fft and q_fft
    pq_fft = p_fft * q_fft

    # compute inverse FFT and round to integer
    pq = np.round(np.fft.ifft(pq_fft).real).astype(int)

    # remove leading zeros
    while len(pq) > 1 and pq[-1] == 0:
        pq = pq[:-1]
   
    return pq

总结

快速傅立叶变换（FFT）是一个非常优秀的算法，可以快速高效地计算多项式乘法。在实际应用中，其计算效率比传统的多项式乘法要高出很多。