多项式乘法的迭代快速傅立叶变换

介绍

多项式乘法是计算机科学中非常基本的问题，而迭代快速傅立叶变换（Iterative Fast Fourier Transform, IFFT）是求解多项式乘法的有效算法之一。在本文，我们将介绍多项式乘法的数学原理以及如何使用迭代快速傅立叶变换提高多项式乘法的效率。

多项式乘法

多项式可以看作一个有序的系数序列，例如：$$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$ 其中，$a_i$ 是 $P(x)$ 的系数，$n$ 是 $P(x)$ 的次数。对于两个多项式 $A(x)$ 和 $B(x)$，它们的乘积是另一个多项式 $C(x)$：$$C(x)=A(x)B(x)$$

通常，我们使用传统的高斯消元法来解决多项式乘法问题，但是这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，当 $n$ 非常大时，计算时间将会非常长。

快速傅立叶变换

在讲解迭代快速傅立叶变换之前，先简单介绍一下快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。

FFT 是一种将离散信号频率域中的乘法转换为时域中的卷积运算的算法。在快速傅立叶变换中，输入是一个长度为 $N=2^k$ 的复数序列 $x_0, x_1, ..., x_{N-1}$，输出是一个长度为 $N$ 的复数序列 $X_0, X_1, ..., X_{N-1}$，满足以下公式：$$X_k = \sum_{j=0}^{N-1}x_j\cdot e^{-\frac{2\pi i}{N}jk}, k \in [0, N-1]$$

其中 $\omega = e^{-\frac{2\pi i}{N}}$，$\omega$ 的 $k$ 次幂即为 $e^{-\frac{2\pi i}{N}k}$。

从上面的公式可以看出，FFT 的时间复杂度为 $O(N\log N)$，当 $N$ 很大时，计算时间将显著降低。

迭代快速傅立叶变换

迭代快速傅立叶变换是一种将递归的快速傅立叶变换变为迭代的形式的算法。在实际应用中，迭代快速傅立叶变换比递归的快速傅立叶变换更快，因为递归调用会增加内存使用量和函数调用开销，而迭代算法则是使用循环实现。

以下是迭代快速傅立叶变换的伪代码：

Input: x0, x1, ..., xN-1
Output: X0, X1, ..., XN-1

for s = 1 to log2(N)
    m = 2^s
    wm = e^-2πi/Nm
    for k = 0 to N-1 step m
        w = 1
        for j = 0 to m/2-1
            t = w * X[k+j+m/2]
            u = X[k+j]
            X[k+j] = u + t
            X[k+j+m/2] = u - t
            w = w * wm

return X0, X1, ..., XN-1

通过迭代快速傅立叶变换，我们可以将多项式乘法的时间复杂度变为 $O(n\log n)$，极大地提高了计算效率。

代码示例

下面是使用 Python 语言实现多项式乘法的迭代快速傅立叶变换的代码片段：

def fft(A):
    n = len(A)
    if n == 1:
        return A
    wn = complex(cos(2 * pi / n), sin(2 * pi / n))
    w = 1
    A0 = fft(A[::2])
    A1 = fft(A[1::2])
    ans = [0] * n
    for i in range(n // 2):
        ans[i] = A0[i] + w * A1[i]
        ans[i + n // 2] = A0[i] - w * A1[i]
        w *= wn
    return ans

def mul(A, B):
    n = len(A) + len(B) - 1
    m = 1
    while m < n:
        m <<= 1
    A += [0] * (m - len(A))
    B += [0] * (m - len(B))
    C = [0] * m
    A_fft = fft(A)
    B_fft = fft(B)
    for i in range(m):
        C[i] = A_fft[i] * B_fft[i]
    ans = [int(x.real / m + 0.5) for x in fft(C)]
    return ans[:n]

其中 fft 函数实现了快速傅立叶变换，mul 函数实现了多项式乘法。在 mul 函数中，我们使用了迭代快速傅立叶变换对多项式进行乘法运算。