在最后的频域分析教程中，我们讨论了使用傅立叶级数和傅立叶变换将信号转换到频域的方法。

傅里叶

傅里叶是1822年的数学家。他给出了傅里叶级数和傅里叶变换，将信号转换为频域。

傅立叶级数

傅里叶级数简单地指出，周期信号可以乘以一定的权重来表示为正弦和余弦之和;它进一步指出周期信号可以分解为具有以下特性的其他信号。

• 信号是正弦和余弦
• 信号互为谐波

可以通过图片查看为

在上述信号中，最后一个信号实际上是所有上述信号的总和。这就是傅立叶的想法。

如何计算

由于在频域中已经看到，为了在频域中处理图像，我们需要先将其转换为频域，然后我们必须对输出取反值才能将其转换回空间域。这就是为什么傅立叶级数和傅立叶变换都有两个公式的原因。一种用于转换，另一种用于转换回空间域。

傅立叶级数

傅立叶级数可以用该公式表示。

可以通过此公式计算逆。

傅里叶变换

傅立叶变换只是简单地指出，曲线下面积有限的非周期性信号在乘以一定权重后，也可以表示为正弦和余弦的积分。

傅里叶变换具有许多广泛的应用，包括图像压缩(例如JPEG压缩)，过滤和图像分析。

傅立叶级数和变换之间的区别

尽管傅里叶级数和傅里叶变换都是由傅里叶给出的，但是它们的区别是傅里叶级数应用于周期信号，傅里叶变换适用于非周期信号。

哪一个应用于图像

现在的问题是，对图像，傅立叶级数或傅立叶变换应用哪种图像。好吧，这个问题的答案在于图像是什么。图像是非周期性的。并且由于图像是非周期性的，因此使用傅立叶变换将其转换为频域。

离散傅立叶变换

由于我们要处理图像，实际上是数字图像，因此对于数字图像，我们将进行离散傅立叶变换

考虑上述正弦曲线的傅立叶项。它包括三件事。

• 空间频率
• 大小
• 相

空间频率与图像的亮度直接相关。正弦波的大小直接与对比度有关。对比度是最大像素强度和最小像素强度之间的差异。相位包含颜色信息。

二维离散傅里叶变换的公式如下。

离散傅立叶变换实际上是采样的傅立叶变换，因此它包含一些表示图像的样本。在上式中，f(x，y)表示图像，F(u，v)表示离散傅里叶变换。二维逆离散傅里叶逆变换的公式如下。

离散傅立叶逆变换将傅立叶变换转换回图像

考虑这个信号

现在，我们将看到一张图像，该图像将先计算FFT幅度谱，然后再移位FFT幅度谱，然后取该移位谱的对数。

原始图片

傅立叶变换幅度谱

位移傅立叶变换

位移幅度谱