在较早的DFT方法中，我们已经看到计算部分太长。我们要减少这一点。这可以通过FFT或快速傅立叶变换来完成。因此，我们可以说FFT只不过是一种算法格式的离散傅立叶变换计算，其中计算部分将减少。

使用FFT的主要优点是通过它，我们可以设计FIR滤波器。从数学上讲，FFT可以编写如下：

$$ x [K] = \ displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x [n] W_N ^ {nk} $$

让我们以一个例子来更好地理解它。我们考虑了从$ x_0 \ quad到\ quad x_7 $命名的八个点。我们将在一组中选择偶数项，在另一组中选择奇数项。上述内容的示意图如下所示-

这里，将点x ₀ ，x ₂ ，x ₄和x ₆归为一类，并且类似地，将点x ₁ ，x ₃ ，x ₅和x ₇归为另一类。现在，我们可以将它们进一步分成两个一组，然后继续进行计算。现在，让我们看看将其分解为另外两个对计算有何帮助。

$ x [k] = \ displaystyle \ sum \ limits_ {r = 0} ^ {\ frac {N} {2} -1} x [2r] W_N ^ {2rk} + \ displaystyle \ sum \ limits_ {r = 0 } ^ {\ frac {N} {2} -1} x [2r + 1] W_N ^ {(2r + 1)k} $

$ = \ sum_ {r = 0} ^ {\ frac {N} {2} -1} x [2r] W_ {N / 2} ^ {rk} + \ sum_ {r = 0} ^ {\ frac {N } {2} -1} x [2r + 1] W_ {N / 2} ^ {rk} \次W_N ^ k $

$ = G [k] + H [k] \次W_N ^ k $

最初，我们采用八点序列，但后来将其分为G [k]和H [k]两部分。 G [k]代表偶数部分，而H [k]代表奇数部分。如果我们想通过图表来实现，那么可以如下所示：

从上图可以看出

$ W_8 ^ 4 = -1 $

$ W_8 ^ 5 = -W_8 ^ 1 $

$ W_8 ^ 6 = -W_8 ^ 2 $

$ W_8 ^ 7 = -W_8 ^ 3 $

类似地，最终值可以写成如下：

$ G [0] -H [0] = x [4] $

$ G [1] -W_8 ^ 1H [1] = x [5] $

$ G [2] -W_8 ^ 2H [2] = x [6] $

$ G [1] -W_8 ^ 3H [3] = x [7] $

以上是一个周期性序列。该系统的缺点是K不能突破4点。现在，让我们进一步分解以上内容。我们将得到这样的结构

例

考虑序列x [n] = {2,1，-1，-3,0,1,2,1}。计算FFT。

解决方案-给定的序列为x [n] = {2,1，-1，-3,0,1,2,1}

安排如下所示的术语；