简化 (p ² -3p-40)/(2p ³ -24p ² +64p)

在数学中，由变量和常数以及加法、减法等算术运算运算符组成的表达式称为代数表达式。当对任何变量执行上述代数运算符子时，就会形成这样的方程。

代数表达式的类型

• 线性表达式：这样一个代数表达式，其中分量变量的指数都没有大于一。 x − 2y 是一个线性表达式，因为变量 x 和 y 的指数都是 1。
• 二次表达式：二次表达式的形式为 ax ² + bx + c，其中 a = 0。换句话说，二次表达式是变量的最大幂为 2 的表达式。
• 三次表达式：在这里，变量的指数值可以达到 3。这意味着任何以 3 作为变量最高指数的表达式都是三次表达式。

简化代数表达式

代数表达式的简化是在不改变原始表达式的值的情况下以最有效和最紧凑的方式表达表达式的过程。收集相似的短语，这需要在表达式中添加或删除术语，是该过程中的一个步骤。

简化步骤

第 1 步：分解给定方程（主要是在二次和三次表达式的情况下）并取消常用项。

第 2 步：如果单词包含指数，则使用指数规则避免分组。

第 3 步：用新的术语替换相似的术语。

第 4 步：将常量的值相加。

简化 (p ² -3p-40)/(2p ³ -24p ² +64p)。

解决方案：

Since the given expressions are quadratic and cubic, let’s factorize them first to see if any common terms can be eliminated.

$\frac{(p^2-3p-40)}{(2p^3-24p^2+64p)}\\=\frac{(p^2-8p+5p-40)}{2p(p^2-12p+32)}\\=\frac{p(p-8)+5(p-8)}{2p(p^2-8p-4p+32)}\\=\frac{(p+5)(p-8)}{2p(p-8)(p-4)}\\=\frac{p+5}{2p(p-4)}$.

示例问题

问题 1. 简化： $\frac{p(p-8)+5(p-8)}{2p(p^2-8p-4p+32)}$ .

解决方案：

Multiply the terms in the numerator, using the multiplication law of exponents.

$\frac{4ab^2(-5ab^3)}{10a^2b^2} = \frac{-20(a)^{1+1}(b)^{2+3}}{10a^2b^2}$

= $\frac{-2a^2b^5}{a^2b^2}$

Now apply the division law of exponents to evaluate.

= -2a^2-2b^5-2

= -2a⁰b³

= -2b³

问题 2. 简化： $\dfrac{(p^{1/7})^{49}}{\left(\dfrac{14p^{1/2}}{(p^{26})^{-1/7}}\right)}$ .

解决方案：

Using the property (p^m)ⁿ = p^mn, we have:

$\dfrac{(p^{1/7})^{49}}{\left(\dfrac{14p^{1/2}}{(p^{26})^{-1/7}}\right)}=\dfrac{p^{49/7}}{\left(\dfrac{14p^{1/2}}{p^{-26/7}}\right)}$

Apply the property am/an = a^m-n in the denominator.

= $\dfrac{p^7}{{14p^{1/2-(-26/7)}}}$

= $\dfrac{p^7}{{14p^{59/14}}}$

Again applying the quotient law of exponents, we have:

$= \frac{{p^{7-\frac{59}{14}}}}{14}\\= \frac{p^{\frac{39}{14}}}{14}$

问题 3. 简化：3x ² (2xy – 3xy ² + 4x ² y ³ )。

解决方案：

P = 3x²(2xy − 3xy² + 4x²y³)

Using a^m.aⁿ = a^m+n, we have:

P = 6x²⁺¹y − 9x²⁺¹y² + 12x²⁺²y³

= 6x³y − 9x³y² + 12x⁴y³

问题 4. 化简：[25 × t ^-4 ]/[5 ^-3 × 10 × t ^-8 ]。

解决方案：

[25 x t^-4]/[5^-3 x 10 x t^-8] = (5² × t⁻⁴)/(5⁻³ × 5 × 2 × t⁻⁸ )

= (5² × t⁻⁴)/(5⁻³⁺¹ × 2 × t⁻⁸)                           [Since, am × an = am+n]

= (5² × t⁻⁴)/(5⁻² × 2 × t⁻⁸)

= (5²⁻⁽⁻²⁾ × t^{−4−(−8))}/2                                       [Since, am/an = am−n]

= (5⁴ × t^{−4 + 8})/2

= 625t⁴/2

问题 5. 简化： 1/2x ^-99 。

解决方案：

Using the property a-m = 1/ am, which is known as the Negative exponent law,

1/ 2x^-99 = $\frac{1}{2}x^{99}$

= x⁹⁹/2.

问题 6. 简化：12x ⁹ /5x ⁶⁰

解决方案：

Using the property am/ an = am – n, which is known as the quotient law,

12x⁹/ 5x⁶⁰ = $\frac{12x^{9-60}}{5}$

= 12x^-51/ 5

Using the property a-m = 1/ am, which is known as the Negative exponent law,

12x^-51/ 5 = $\frac{12}{5x^{51}}.$