门|门CS 2010 | 第 40 题

题目描述

门|门公司是一家专门提供IT解决方案的企业。他们近期收到了一个需求，需要开发一个程序，来解决以下问题。

给定一个整数数组，数组中的每个数字都表示一个房间的编号。每个房间有一扇门，门可以通过刷卡来打开。刷卡的方式为每次选择一个连续的子数组，刷卡的次数为子数组中各个数字之和的平方根的整数部分。

请你帮助门|门公司编写一个函数，计算出刷卡的最少次数。

函数签名

def minimum_card_swipes(arr: List[int]) -> int:
    pass

输入

• arr：一个整数数组，表示房间的编号。数组长度保证不超过1000，数组中元素的范围为 [-10^6, 10^6]。

输出

• 返回一个整数，表示刷卡的最少次数。

示例

assert minimum_card_swipes([2, 5, 7]) == 2
assert minimum_card_swipes([-2, 10, -7, 1, 4, 9]) == 2
assert minimum_card_swipes([0, 0, 0, 0]) == 0

解析

该题目是一个基于动态规划的问题。

思路如下：

1. 创建一个同样长度的数组 dp，用于存储每个子数组的最小刷卡次数。
2. 初始化 dp 数组的值为最大值（可以选择一个很大的数表示初始值）。
3. 遍历输入的数组 arr。
4. 对于每个位置 i，内部再循环遍历 j，从 i 开始向前遍历到 0。
5. 在遍历的过程中，计算子数组 arr[j:i+1] 的和 sum。
6. 计算 sum 的平方根 sqrt，并将其转换为整数部分。
7. 更新 dp[i] 的值为 min(dp[i], dp[j-1] + sqrt)。
8. 返回 dp[-1]，即为最终的最小刷卡次数。

代码实现

from typing import List
import math

def minimum_card_swipes(arr: List[int]) -> int:
    n = len(arr)
    dp = [float('inf')] * n
    dp[0] = math.isqrt(arr[0])

    for i in range(1, n):
        for j in range(i, -1, -1):
            sum_val = sum(arr[j:i+1])
            sqrt_val = math.isqrt(abs(sum_val))
            dp[i] = min(dp[i], dp[j-1] + sqrt_val)

    return dp[-1]

注意：以上代码中的 math.isqrt() 函数用于计算平方根的整数部分。

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 为输入数组的长度。这是因为主要在两层循环中进行了元素遍历。空间复杂度为 O(n)，即创建了一个长度为 n 的数组用于存储子问题的最小刷卡次数。