允许两种不同的操作，从 0 到 N 点的最小成本

介绍

在编写计算机程序时，经常需要找到从起点到终点的最小成本路径。在这种情况下，可以使用动态规划算法。本文将介绍如何使用动态规划算法来找到从 0 到 N 点的最小成本路径。

问题描述

假设有一个有向无环图（DAG），其中每个节点都有一个权值。我们需要从 0 号节点出发，到达 N 号节点，同时维护路径上节点权值的最小值。在该图中，我们可以进行两种操作：

• 从一个节点移动到相邻节点，代价为该节点的权值，即到达节点i的代价为cost[i]。
• 删除一个节点，代价为该节点的权值。

需要找到从 0 到 N 点的最小成本。

思路

使用动态规划的思路，需要开一个数组 dp，其中 dp[i] 表示从起点 0 到 i 号节点的最小成本。考虑从前面的状态转移过来，当我们到达节点 i 时，有两种选择：

• 继续向前走。此时，我们需要加上节点 i 的代价 cost[i]，即 dp[i] = dp[j] + cost[i]。其中 j 是节点 i 的前驱节点。
• 删除节点 i。此时，代价是节点 i 的权值。即 dp[i] = dp[i-1] + cost[i]。

经过上述两种操作之后，可以计算出 dp[i] 的最小值。

代码示例

下面是使用动态规划算法实现的一个示例代码：

def min_cost_path(cost, n):
    dp = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i] = dp[i-1] + cost[i]
        for j in range(i-1, 0, -1):
            if dp[j] + cost[i] < dp[i]:
                dp[i] = dp[j] + cost[i]
        for j in range(i-1, 0, -1):
            if dp[j-1] + cost[j] < dp[i]:
                dp[i] = dp[j-1] + cost[j]
    return dp[n]

上面的代码中，我们先初始化一个长度为 n+1 的数组 dp，然后从 1 开始遍历每个节点。对于每个节点 i，我们先进行删除操作，即 dp[i] = dp[i-1] + cost[i]。然后枚举每一个 i 的前驱节点 j，进行向前走的操作，即 dp[i] = dp[j] + cost[i]，并更新 dp[i] 的值。最后再次枚举前驱节点 j，进行删除操作，并更新 dp[i] 的值。最终，dp[n] 即为最小成本。

总结

本文介绍了如何使用动态规划算法来找到从 0 到 N 点的最小成本路径。该算法使用了动态规划思想，通过从前面的状态转移过来，逐步计算出每个节点的最小成本。实现该算法的关键在于状态转移方程的设计，需要将问题拆分成子问题，并使用 dp 数组来保存中间状态。