矩阵上的不同操作

关于矩阵的介绍，可以参考以下文章：矩阵介绍
在本文中，我们将讨论对矩阵及其属性的各种操作：

矩阵加法 –
两个矩阵 A _m*n和 B _m*n相加得到矩阵 C _m*n 。 C的元素是A和B中对应元素的和，可以表示为：

矩阵相加的算法可以写成：

for i in 1 to m
   for j in 1 to n
      cij = aij + bij

C++

// C++ Program for matrix addition
 
#include 
using namespace std;
 
int main()
{
 
    int n = 2, m = 2;
    int a[n][m] = { { 2, 5 }, { 1, 7 } };
    int b[n][m] = { { 3, 7 }, { 2, 9 } };
 
    int c[n][m];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];
        }
 
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++)
            cout << c[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}

Javascript

 
// Javascript Program for matrix addition
var n = 2, m = 2;
var a = [[ 2, 5 ], [ 1, 7 ]];
var b = [[ 3, 7 ], [ 2, 9 ]];
var c = Array.from(Array(n), ()=>Array(m).fill(0));
for (var i = 0; i < n; i++)
    for (var j = 0; j < n; j++) {
        c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];
    }
for (var i = 0; i < n; i++) {
    for (var j = 0; j < n; j++)
        document.write( c[i][j] + " ");
    document.write("<br>");
}
 
// This code is contributed by noob2000.

输出：

5 12 
3 16 

时间复杂度： O(n * m)

辅助空间： O(n * m)
关键点：

• 矩阵的加法是可交换的，这意味着 A+B = B+A
• 矩阵的加法是结合的，这意味着 A+(B+C) = (A+B)+C
• 矩阵 A、B 和 A+B 的顺序始终相同
• 如果 A 和 B 的顺序不同，则无法计算 A+B
• 加法运算的复杂度是 O(m*n) 其中 m*n 是矩阵的顺序

矩阵减法 –
两个矩阵 A _m*n和 B _m*n相减得到矩阵 C _m*n 。 C的元素是A和B中对应元素的差值，可以表示为：

矩阵相减的算法可以写成：

for i in 1 to m
   for j in 1 to n
      cij = aij-bij

C++

// C++ Program for matrix subtraction
 
#include 
using namespace std;
 
int main()
{
 
    int n = 2, m = 2;
    int a[n][m] = { { 2, 5 }, { 1, 7 } };
    int b[n][m] = { { 3, 7 }, { 2, 9 } };
 
    int c[n][m];
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            c[i][j] = a[i][j] - b[i][j];
        }
 
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++)
            cout << c[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}

输出：

-1 -2 
-1 -2 

关键点：

• 矩阵的减法是不可交换的，这意味着 AB ≠ BA
• 矩阵的减法是非关联的，这意味着 A-(BC) ≠ (AB)-C
• 矩阵 A、B 和 AB 的顺序始终相同
• 如果 A 和 B 的顺序不同，则无法计算 AB
• 减法运算的复杂度是 O(m*n) 其中 m*n 是矩阵的顺序

矩阵乘法 –
两个矩阵 A _m*n和 B _n*p的相乘给出了一个矩阵 C _m*p 。这意味着 A 中的列数必须等于 B 中的行数才能计算 C=A*B。要计算元素 c11，将 A 的第一行的元素与 B 的第一列的元素相乘，然后将它们相加 (5*1+6*4)，可以表示为：

阶数为 m*n 的矩阵 A 和阶数为 n*p 的矩阵 B 的乘法算法可以写为：

for i in 1 to m
   for j in 1 to p
      cij = 0
      for k in 1 to n
         cij += aik*bkj

C++

// C++ Program for matrix Multiplication
 
#include 
using namespace std;
 
int main()
{
 
    int n = 2, m = 2;
    int a[n][m] = { { 2, 5 }, { 1, 7 } };
    int b[n][m] = { { 3, 7 }, { 2, 9 } };
 
    int c[n][m];
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < n; i++)
    {
        for (j = 0; j < n; j++)
        {
            c[i][j] = 0;
            for (k = 0; k < n; k++)
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
        }
    }
 
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
            cout << c[i][j] << " ";
        cout << endl;
    }
}

输出：

16 59 
17 70

关键点：

• 矩阵的乘法是不可交换的，这意味着 A*B ≠ B*A
• 矩阵的乘法是结合的，这意味着 A*(B*C) = (A*B)*C
• 为了计算 A*B，A 中的列数必须等于 B 中的行数
• A*B 的存在并不意味着 B*A 的存在
• 乘法运算 (A*B) 的复杂度为 O(m*n*p) 其中 m*n 和 n*p 分别是 A 和 B 的阶
• 计算为 A*B 的矩阵 C 的顺序是 m*p，其中 m*n 和 n*p 分别是 A 和 B 的顺序

继续阅读 – 矩阵的行列式、矩阵的伴随矩阵和逆矩阵