允许两种不同的操作，从 0 到 N 点的最小成本

在许多算法问题中，我们需要在一个图或网格中找到最小成本的路径或通路。 本文将介绍两种常见的最小成本路径问题：最短路径和最小生成树。

一、最短路径

1. Dijkstra算法

Dijkstra算法用于解决带权有向图中单源点到所有其他点的最短路径问题。

算法步骤如下：

1. 创建一个包含源点的集合S和一个不包含源点的集合T。
2. 初始化距离数组dist，源点距自己的距离为0，其余点距离源点无穷大。
3. 从未标记的点中选择一个最小距离的点u，将其标记为已访问。
4. 对于u的每个邻居v，更新其距离：如果从源点到u的距离再加上u到v的距离小于原有的距离，则更新距离。
5. 重复步骤3和4，直到所有点都被访问过或不存在未标记点到源点的路径。

Dijkstra算法的时间复杂度为$O(n^2)$, 如果使用堆等数据结构可优化到$O(nlogn)$。

2. Bellman-Ford算法

Bellman-Ford算法解决带权有向图中单源点到所有其他点的最短路径问题，但它可以处理存在负权边的情况。

算法步骤如下：

1. 初始化距离数组dist，源点距自己的距离为0，其余点距离源点无穷大。
2. 对于每条边(u, v, w)，将dist[v]更新为min(dist[v], dist[u] + w)。
3. 重复步骤2，直到没有任何点的距离被更新。

Bellman-Ford算法总共需要执行$O(nm)$次更新，时间复杂度为$O(nm)$。

3. Floyd算法

Floyd算法用于解决图中所有点对之间的最短路径问题。

算法步骤如下：

1. 初始化一个n*n的二维数组dist，将每对连通点之间的距离设置为其边的权值，如果不存在，则设置为无穷大。
2. 对于每个顶点k，从i到j的距离为min(dist[i][j], dist[i][k]+dist[k][j])。
3. 重复执行步骤2，直到所有顶点的距离都被更新。

Floyd算法的时间复杂度为$O(n^3)$。

二、最小生成树

最小生成树是指在一个带权连通图中，找到一棵生成树，使得其所有边的权值之和最小。

1. Kruskal算法

Kruskal算法用于解决无向带权连通图的最小生成树问题。

算法步骤如下：

1. 初始化包含所有节点、但没有边的森林。
2. 将所以边按权值从小到大排序。
3. 依次取出每条边，如果该边所连接的两个点在同一个树中，则舍弃该边；否则将其加入生成树中并将所在的两棵树合并为一棵树。
4. 重复执行步骤3，直到森林成为一棵树。

Kruskal算法的时间复杂度为$O(mlogm)$。

2. Prim算法

Prim算法用于解决无向带权连通图的最小生成树问题。

算法步骤如下：

1. 初始化一个新的集合U，其中包含一个起点。
2. 初始化一个新的距离数组dist，其中距离d[i]表示从U中最近的顶点到顶点i的距离，起点的距离d[s]为0，其余为无穷大。
3. 每次将距离dist最小的那个点加入U，然后更新dist数组。
4. 重复执行步骤3，直到所有点都被加入U。

Prim算法的时间复杂度为$O(n^2)$。

总结

在算法问题中，求解最小成本的路径或通路是最为经典的问题之一。本文介绍了两种最小成本路径问题（最短路径和最小生成树），其中分别介绍了三种求解方法。在实际应用中，我们需要根据具体问题的情况选择最适合的算法。