计算总元素总和可被 3 整除的大小为 n 的子集个数的算法介绍

题目要求计算总元素总和可被 3 整除的大小为 n 的子集的计数。这里我们提供两种算法来解决这个问题。一种是基于动态规划的算法，另一种是基于组合数学的算法。

动态规划算法解决方法

首先我们定义状态变量 $dp[i][j]$ 表示考虑前 $i$ 个元素，选出 $j$ 个元素且总和为 $k$ 的方案数。根据题意，我们可以得到如下状态转移方程：

$$ dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] \cdot a_i , \quad (j \leqslant i, k \equiv 0 \pmod 3) $$

其中 $a_i$ 表示第 $i$ 个元素。初始状态是 $dp[i][0] = 1$，表示选出 $0$ 个元素的方案数为 $1$。最终的答案即为 $dp[n][m]$，其中 $m$ 是选出 $m$ 个元素的要求。

这个算法的时间复杂度是 $O(n^3)$，空间复杂度也是 $O(n^3)$。因此当 $n$ 较小的时候，这个算法是可行的。

组合数学算法解决方法

根据组合数学的知识，我们可以得到一个结论：如果 $n$ 个数的总和是 $3m$，那么有且仅有 $\binom{n}{3} + \binom{n}{6} + \cdots + \binom{n}{3k} + \cdots$ 个子集的和是 $3m$。

因此，我们可以根据这个结论，得到计算总元素总和可被 3 整除的大小为 n 的子集的计数的公式即为：

$$ \sum\limits_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{3}\rfloor}\binom{n}{3k} $$

时间复杂度为 $O(\log_3 n)$。

代码实现

基于动态规划的算法

def count_subsets_dp(n, a, m):
    dp = [[0] * (m+1) for _ in range(n+1)]
    dp[0][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(m+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j >= 1 and i >= 1 and (sum(a[:i]) - a[i-1]) % 3 == 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-1]
    return dp[n][m]

基于组合数学的算法

import math

def count_subsets_comb(n):
    res = 0
    for k in range(0, n+1, 3):
        res += math.comb(n, k)
    return res

以上就是我们介绍的两种计算总元素总和可被 3 整除的大小为 n 的子集的计数的算法。可以根据需要选择不同的算法。