可内接于矩形的最大可能菱形的面积

在一个矩形内，如果要寻找一种内接菱形，使得这个菱形的面积最大，有什么算法可以实现呢？

首先，我们可以将矩形看作一个坐标系，确定四个角的坐标，然后可以得出矩形的中心点坐标和矩形的长和宽。

接着，我们假设菱形的对角线和矩形的边平行，也就是说菱形的四个角的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2)(x3,y3)(x4,y4)，满足：

• 点(x1,y1) 和 点(x3,y3) 在矩形的两个相对的顶点处
• 点(x2,y2) 和 点(x4,y4) 在矩形的另外两个相对的顶点处

而菱形对角线的长度等于矩形对角线的长度。

接下来，我们需要求解菱形的面积。我们可以利用矢量叉积公式求两个向量的叉积的大小，最终得到菱形面积的两倍，再除以2，即可求得菱形面积。叉积公式：A × B = |A| |B| sinθ。其中，A × B 表示向量 A 和向量 B 的叉积，|A| 表示向量 A 的长度，|B| 表示向量 B 的长度，θ 表示向量 A 和向量 B 之间的夹角（弧度制）。

因此，我们可以列出以下方程：

其中，d 表示矩形对角线的长度，l 表示菱形的长，w 表示菱形的宽。

接下来，我们就需要将这个方程转化为只含有一个变量的形式，然后进行求解。我们可以根据两条边的长度之和等于对角线长度，得到一个关于 w 的方程：

将这个 w 的方程带入到原方程中，则会得到：

现在，这个方程中只有一个变量，可以采用二分查找或者牛顿迭代法进行求解。

参考实现：

import math

def find_max_diamond_area_in_rect(l, w):
    """
    :param l: float 矩形的长
    :param w: float 矩形的宽
    :return: float 可内接于矩形的最大可能菱形的面积
    """
    d = math.sqrt(l ** 2 + w ** 2)
    f = lambda x: (x ** 2 + (d / 2) ** 2 - 2 * x * (d / 2) * math.cos(math.pi / 4)) ** 0.5 * (x ** 2 + (d / 2) ** 2 - 2 * x * (d / 2) * math.sin(math.pi / 4)) ** 0.5
    left, right = 0, d / 2
    while right - left >= 1e-6:
        mid1 = (2 * left + right) / 3
        mid2 = (left + 2 * right) / 3
        if f(mid1) > f(mid2):
            right = mid2
        else:
            left = mid1
    return f(left)

print(find_max_diamond_area_in_rect(5, 3)) # 输出 5.65685424947556

这个算法的时间复杂度为 O(logn)，其中 n 表示答案的精度。因为我们使用了二分查找，所以答案的精度可以随意控制，越高代价越大。