门|门 IT 2008 |问题 33

简介

本文介绍了门|门 IT 2008年的第33道问题，面向程序员。该问题涉及到算法和数据结构。

问题描述

给定一个包含n个点和m个边的有向图，每个点上有一个权值，且权值为正整数。现在要求从起点s到终点t的所有路径中，找出具有最大点权和的路径。假设起点s和终点t的点权均为1，请设计一个算法，能够高效地解决该问题。

数据范围：1<=n<=10^5，1<=m<=10^6，1<=点权<=10^6

解题思路

根据Dijkstra算法的思想，我们可以使用贪心算法进行求解。

我们定义一个数组dis，其表示s到所有节点的最短路径。假设当前搜索到的节点为u，我们尝试将u的所有后继节点v加入到堆中。在堆中，我们需要按照节点的最大点权进行排序。如果在搜索的过程中，已经找到了一条从s到t的路径，并且该路径的点权和为w，那么此时如果我们搜索到的路径的点权和小于w，那么这条路径就可以被剪枝掉。

代码实现

以下是使用Python实现的代码片段：

import heapq

def dijkstra(s, t, n, graph):
    # 初始化dis为无穷大
    dis = [float('inf')] * n
    pre = [-1] * n

    # 将源节点s的dis设置为1
    dis[s] = 1

    # 使用堆来维护搜索过程
    pq = [(1, s)]

    while pq:
        # 弹出堆中最小的节点
        _, u = heapq.heappop(pq)

        if u == t:
            # 找到了一条从s到t的路径
            break

        # 遍历u的所有后继节点v
        for v, w in graph[u]:
            new_dis = dis[u] * w
            if new_dis > dis[v]:
                # 更新节点v的dis和pre
                dis[v] = new_dis
                pre[v] = u
                # 将节点v加入到堆中
                heapq.heappush(pq, (dis[v], v))

    # 构造从s到t的路径
    path = [t]
    while pre[path[-1]] != -1:
        path.append(pre[path[-1]])
    path.reverse()

    return dis[t], path

总结

本问题可以使用贪心算法来解决，其时间复杂度为O(mlogn)，空间复杂度为O(m+n)。在实际应用中，可以结合其他优化措施来进一步提高算法的效率。