门| GATE-CS-2015（套装2）|问题 33

这道题主要考察程序员对图论算法的理解和应用。题目要求我们判断一张图是否为欧拉图或半欧拉图，并且给出证明。

欧拉图和半欧拉图

欧拉图是指一个图中能够找到一条经过所有边恰好一次的回路。而半欧拉图则是指一个图中能够找到一条经过所有边恰好一次的路径。具有这两个性质中的任意一个的图被称为欧拉图或半欧拉图。否则，我们称这个图为非欧拉图或非半欧拉图。

求解欧拉图或半欧拉图

判断一张图是否为欧拉图或半欧拉图，需要应用一些特殊的算法。

对于无向图，我们需要判断该图是否连通，以及每个节点的度数是否都是偶数。如果该图是连通的，并且每个节点的度数都是偶数，那么该图就是欧拉图。如果该图不是连通的，但是每个节点的度数都是偶数，那么该图就是半欧拉图。否则该图就是非欧拉图或非半欧拉图。

对于有向图，我们需要判断该图是否连通，以及每个节点的入度和出度是否相等。如果该图是连通的，并且每个节点的入度和出度都相等，那么该图就是欧拉图。如果该图不是连通的，但是每个节点的入度和出度的差都相差不超过1，那么该图就是半欧拉图。否则该图就是非欧拉图或非半欧拉图。

证明欧拉图或半欧拉图

对于证明欧拉图或半欧拉图，我们需要采用类似数学归纳法的方式证明。

对于欧拉图，我们需要证明:

• 当 n=1 时，显然成立。
• 假设当 n=k 时成立，即任何 k 个结点的连通图中，若每个节点的度数都是偶数，则该图为欧拉图。现在考虑 n=k+1 时的情况，即证明任意 k+1 个节点的连通图中，若每个节点的度数都是偶数，则该图为欧拉图。

对于半欧拉图，我们需要证明：

• 当 n=1 时，显然成立。
• 假设当 n=k 时成立，即任何 k 个结点的连通图中，若只有两个节点的度数是奇数，其余节点的度数都是偶数，则该图为半欧拉图。现在考虑 n=k+1 时的情况，即证明任意 k+1 个节点的连通图中，若只有两个节点的度数是奇数，其余节点的度数都是偶数，则该图为半欧拉图。

代码实现

下面是一个 C++ 的程序，可以用来判断一个图是欧拉图、半欧拉图还是非欧拉图、非半欧拉图。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<vector<int>>adj(n,vector<int>(n,0));
    vector<int>indeg(n,0),outdeg(n,0);
    int u,v;
    for(int i=0;i<m;i++) {
        cin>>u>>v;
        adj[u][v] = 1;
        outdeg[u]++;
        indeg[v]++;
    }

    bool isEuler = true,isSemiEuler = true;
    int cntSemiEuler = 0;
    for(int i=0;i<n;i++) {
        if(indeg[i]!=outdeg[i])isEuler = false;
        if(abs(indeg[i]-outdeg[i])>1)isSemiEuler = false;
        if(indeg[i]-outdeg[i]==1)cntSemiEuler++,start = i;
        if(outdeg[i]-indeg[i]==1)cntSemiEuler++,end = i;
    }
    int start=0,end=0;
    if(cntSemiEuler!=0)isEuler = false;
    if(cntSemiEuler>2)isSemiEuler = false;
    if(cntSemiEuler==2) {
        if(start==end)isSemiEuler=false;
        else isEuler = false;
    }

    if(isEuler)cout<<"The graph is an Euler graph ";
    else if(isSemiEuler)cout<<"The graph is a Semi Euler graph ";
    else cout<<"The graph is neither an Euler or Semi Euler graph ";
    return 0;
}

以上是 C++ 的代码实现。需要注意的是，该代码只能判断无向图。如果需要判断有向图，需要修改代码适应有向图的特殊性质。

总结

本题主要考察了程序员对图论算法的掌握程度，需要掌握欧拉图、半欧拉图和非欧拉图、非半欧拉图的判定方法以及证明方法。需要注意的是，对于有向图和无向图，判断方法不同，需要根据不同的情况进行判断。代码实现方面，需要注意特殊情况的处理，例如半欧拉图的情况。