门 | GATE-CS-2015（套装1）|问题 33

这个问题是关于有向图的强连通子图的算法。在这个问题中，我们需要实现一个算法来找到有向图中所有的强连通子图。

问题描述

有一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。你需要实现一个算法来寻找有向图中所有的强连通子图。

算法实现

强连通算法通常使用基于深度优先搜索（DFS）的算法。以下是使用DFS算法来找到有向图中所有的强连通子图的步骤：

1. 对于每一个顶点v∈V，执行一次DFS算法；

2. 对于每一次DFS调用，我们记录两个变量：发现时间discovery_time和最早反向边到达时间lowlink；

3. 如果一个顶点v的lowlink等于它的discovery_time，则它是一个根节点。将所有在同一DFS树中的子节点归为一个强连通分量；

4. 如果一个顶点v在DFS树上但它存在子节点uv，使得lowlink[u] < lowlink[v]，那么我们更新v的lowlink值为min(lowlink[v], discovery_time[u])；

5. 如果一个顶点v不在DFS树上但已经被访问，那么我们更新v的lowlink值为min(lowlink[v], discovery_time[child])，其中child是v的子节点中在DFS树上的节点；

6. 当DFS算法结束时，我们将所有和根节点在同一个DFS子树中的节点归为同一个强连通分量。

代码实现

def tarjan_scc(G):
    index_counter = [0]
    stack = []
    lowlink = {}
    index = {}
    result = []

    # 定义DFS函数
    def strongconnect(node):
        # 首先遍历节点
        index[node] = index_counter[0]
        lowlink[node] = index_counter[0]
        index_counter[0] += 1
        stack.append(node)

        # 遍历每一个儿子节点
        try:
            successors = G[node]
        except:
            successors = []
        for successor in successors:
            # 如果节点是没被发现过的，就继续递归
            if successor not in lowlink:
                strongconnect(successor)
                lowlink[node] = min(lowlink[node],lowlink[successor])
            # 如果节点在栈中，那么它是返祖边中的一个目标，更新lowlink
            elif successor in stack:
                lowlink[node] = min(lowlink[node],index[successor])

        # 如果这个节点是一个根结点，弹出它和所有子孙节点
        if lowlink[node] == index[node]:
            connected_component = []
            while True:
                successor = stack.pop()
                connected_component.append(successor)
                if successor == node:
                    break
            result.append(connected_component)

    # 遍历每一个节点
    for node in G:
        if node not in lowlink:
            strongconnect(node)

    return result

总结

强连通算法是DFS算法的一个扩展，用于寻找有向图中的所有强连通子图。这个问题的关键是使用DFS来找到每一个节点的“最早反向边到达时间”值。一旦我们找到了所有的根节点，就可以将它们和它们子节点所构成的强连通分量归为一类。实际上，这个问题的解决方案和使用Tarjan算法来找到有向图中的强联通分量非常相似。