门 | GATE-CS-2015（套装2）|第 36 题

本题旨在考察程序员对于并发编程的理解和应用。

题目描述

给定一个具有以下特性的计算模型：

• 该模型包含 $n$ 个处理器，分别记为 $P_0, P_1, \dots, P_{n-1}$。
• 每个处理器都有一个 $in$ 输入队列和一个 $out$ 输出队列。
• 处理器可以执行以下类型的任务：
  • 向自己的 $in$ 队列中插入数据项，并等待 $t$ 个时间单位。
  • 从自己的 $in$ 队列和其他处理器的 $out$ 队列中读取数据项，并进行某些计算，最终将结果插入自己的 $out$ 队列中。
• 每个处理器的 $in$ 和 $out$ 队列都是无界的。

现在，我们希望利用该模型并发地执行一个计算任务。具体来说，我们输入一个长度为 $k$ 的整数数组 $A=a_0,a_1,\dots,a_{k-1}$，并对其进行以下计算：

$$B[i] = \max_{0\le j<i}(a_j),\quad 0\le i<k$$

其中，$\max$ 表示取最大值。

请设计一个基于该计算模型的并发程序，实现上述计算，使得程序的时间复杂度为 $O(k)$。

你需要给出程序的伪代码或代码实现，并分析算法的时间复杂度和空间复杂度。

解题思路

该问题可以通过分治的方式来解决。

具体来说，可以将长度为 $k$ 的数组 $A$ 分为两个子数组，分别对其进行计算，并得到两个辅助数组 $B_0$ 和 $B_1$。然后，我们将 $B_1$ 中的每个元素与 $B_0[k/2-1]$ 取最大值得到 $B[k/2]$，再以同样的方式递归处理左右两个子数组，直到每个子数组中只剩下一个元素为止。

注意到，由于每个处理器都可以独立地向自己的 $in$ 队列中插入新的数据项，并等待一段时间后再进行计算，因此可以利用这一特性来进行并发计算，从而降低时间复杂度。

具体来说，将处理器分为两组，每组各 $n/2$ 个处理器。假设当前要处理的子数组为 $A[l:r]$，其中 $m=(l+r)/2$。则，对于左边的一组处理器，第 $i$ 个处理器执行以下任务：

1. 将 $A[l:i]$ 中的元素插入自己的 $in$ 队列中。
2. 等待 $t=(i-l)$ 个时间单位。
3. 从自己的 $in$ 队列和右边一组处理器的 $out$ 队列中读取数据，计算得到 $B_0[i]$，并将其插入自己的 $out$ 队列中。

类似地，对于右边的一组处理器，第 $j$ 个处理器执行以下任务：

1. 将 $A[m:j]$ 中的元素插入自己的 $in$ 队列中。
2. 等待 $t=(j-m)$ 个时间单位。
3. 从自己的 $in$ 队列和左边一组处理器的 $out$ 队列中读取数据，计算得到 $B_1[j-m-1]$，并将其插入自己的 $out$ 队列中。

最后，对于输出处理器 $P_0$，它需要等待所有 $B_0$ 和 $B_1$ 中的数据都已经计算完成后，才能开始输出结果。因此，它需要等待 $n-2$ 个处理器的输出队列中都有数据可用时，才能开始读取。读取时，它只需要从自己的 $in$ 队列和其他所有处理器的 $out$ 队列中读取最大值，即可计算得到答案 $B$。

伪代码实现

def max_prefix(A, l, r):
    if l + 1 == r:
        return A[l]
    m = (l + r) // 2
    B0, B1 = [], []
    for i in range(m - l):
        p = spawn_process_left()
        p.in_queue.put(A[l:i+1])
        sleep(i - l)
        B0[i] = p.out_queue.get()
    for j in range(r - m):
        p = spawn_process_right()
        p.in_queue.put(A[m:j+1])
        sleep(j - m)
        B1[j] = p.out_queue.get()
    b = max(B0[m-l-1], B1[r-m-2])
    return max(b, max_prefix(A, l, m))
               + max_prefix(A, m, r)

时间复杂度

假设共有 $n$ 个处理器，则在所有处理器都已启动的情况下，整个程序的时间复杂度为 $T(k,n)=2T(k/2,n/2)+O(k)$，其中 $T(k,n)$ 表示处理长度为 $k$ 的数组时，有 $n$ 个处理器可用的情况下所需的最短时间。

根据主定理可知，$T(k,n)=O(k\log n)$。

需要注意的是，由于每个处理器都可以独立地向自己的 $in$ 队列中插入新的数据项，并等待一段时间后再进行计算，因此上述时间复杂度分析并不考虑并发带来的额外时间开销。实际上，由于这些处理器的运行是并发的，因此程序的实际运行时间会比上述时间复杂度分析得到的结果更短。