通过向右、向下或对角线移动从 M x N 矩阵的左上角到右下角的可能路径计数

这是一个经典的动态规划问题，通常通过递归或记忆化搜索实现。我们也可以使用动态规划来解决。

设 dp[i][j] 表示从 (0,0) 到 (i,j) 的路径总数。

对于第一行和第一列，因为只有一种移动方式，所以 dp[i][0] 和 dp[0][j] 都为 1。

对于其他的位置 (i,j)，有三种移动方式，即向右、向下和对角线。因此，

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1]

其中，dp[i-1][j] 表示从 (0,0) 到 (i-1,j) 的路径总数；dp[i][j-1] 表示从 (0,0) 到 (i,j-1) 的路径总数；dp[i-1][j-1] 表示从 (0,0) 到 (i-1,j-1) 的路径总数。

最终的答案是 dp[M-1][N-1]。

下面是 Python 代码实现：

def count_paths(m, n):
    dp = [[1] * n for _ in range(m)]

    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1]

    return dp[m-1][n-1]

时间复杂度为 O(MN)，空间复杂度为 O(MN)。

注意：对于非常大的矩阵，这种方法可能会导致内存不足。在这种情况下，我们可以使用滚动数组或优化空间的其他方法。