计算 mXn 矩阵从左上角到右下角的所有可能路径

在编程中，有时需要计算一个矩阵从左上角到右下角的所有可能路径。这个问题本质上是一个递归问题，可以通过递归或动态规划来解决。下面我们来介绍两种解决方案。

递归算法

首先我们来看递归算法。对于一个mXn的矩阵，从左上角到右下角的所有可能路径可以分为两类：

• 经过位置(m, n-1)的路径
• 经过位置(m-1, n)的路径

因此，我们可以将计算mXn矩阵的路径拆分为计算(m, n-1)和(m-1, n)两个子问题，然后再将结果合并。

参考代码如下：

def count_paths(m, n):
    if m == 1 or n == 1:
        return 1
    return count_paths(m - 1, n) + count_paths(m, n - 1)

print(count_paths(3, 3))  # 6

代码中，count_paths(m, n)函数用来计算从(1,1)到(m,n)的所有路径数量。当m或n等于1时，说明只有一条路径，直接返回1。否则，将问题拆分为计算(m,n-1)和(m-1,n)两个子问题，再将结果相加。

动态规划算法

接下来我们来介绍动态规划算法。动态规划算法是一种自底向上的算法，可以避免递归算法的重复计算问题。

首先，我们可以创建一个mXn的矩阵，用来存储从(1,1)到每个位置的路径数量。对于第一行和第一列的位置，路径数量都为1。对于其他位置，路径数量等于它左边和上边位置的路径数量之和。

参考代码如下：

def count_paths(m, n):
    # 初始化矩阵
    matrix = [[1] * n] * m
    # 计算其他位置的路径数量
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            matrix[i][j] = matrix[i-1][j] + matrix[i][j-1]
    # 返回结果
    return matrix[m-1][n-1]

print(count_paths(3, 3))  # 6

代码中，count_paths(m, n)函数用来计算从(1,1)到(m,n)的所有路径数量。首先初始化一个mXn的矩阵，将第一行和第一列的位置的路径数量都设为1。然后，计算其他位置的路径数量，通过逐行逐列遍历矩阵，使用上述公式即可。最后，返回矩阵最右下角的元素即可。

以上就是计算 mXn 矩阵从左上角到右下角的所有可能路径的两种解决方案，递归算法和动态规划算法。在实际应用中，动态规划算法的效率更高，因为避免了递归算法的重复计算。