证明顶点覆盖是 NP 完备的

简介

顶点覆盖问题是图论中的一个 NP 完全问题，给定一个无向图，找到其中最小的点集，使得图上每条边至少有一个端点在这个点集中。

即：在一个无向图中，找到最小的节点集合，使得图上每条边都至少连接一个被选中的节点。

证明

为了证明顶点覆盖是 NP 完全的，我们需要证明两个条件：

1. 顶点覆盖是 NP 问题；
2. 顶点覆盖是 NP 完全问题。

顶点覆盖是 NP 问题

首先，我们证明顶点覆盖是 NP 问题。

NP 问题是指可以在多项式时间内验证一个问题的解是否正确。对于顶点覆盖问题，如果一个节点集合被认为是最小顶点覆盖，则我们可以在多项式时间内验证其正确性。可以对每个边进行检查，看它们是否至少连接一个选定的节点。

因此，顶点覆盖是 NP 问题。

顶点覆盖是 NP 完全问题

接下来，我们证明顶点覆盖是 NP 完全问题。

为了证明此事，我们需要证明：

• 顶点覆盖是 NP 问题；
• 我们可以将一个 NP 完全问题规约为顶点覆盖问题。

因为 3-SAT 是 NP 完全的，因此我们需要将一个 3-SAT 问题规约为顶点覆盖问题。

在 3-SAT 问题中，我们有一组布尔变量和一组布尔表达式。问题是找到一组布尔变量的值，使得所有表达式都为真。

可以将 3-SAT 表示为一个图，其中图的每个节点代表一个变量或其否定，每个表达式则对应于一个长度为 3 的路径，按照如下方式构建。

• 对于每个变量 $x$，构建两个节点，分别代表 $x$ 和 $\neg x$；
• 对于每个表达式 $E$，构建一个长度为 3 的路径。

具体的，对于表达式 $(a \lor b \lor c)$，构建如下路径：

• 添加边 $(\neg a, b)$，表示表达式中的第一个文字有两种可能；
• 添加边 $(\neg a, \neg b)$，同理。
• 添加边 $(a, b)$，表示如果第一个文字取到 $a$，则其他两个存在必取一个。

对于 $(a \lor b \lor \neg c)$，则路径为：

• 添加边 $(\neg a, b)$
• 添加边 $(\neg a, c)$
• 添加边 $(a, b)$

如果 3-SAT 问题有一个解，则我们可以将变量的值分配给图中的节点，对于每条边 $(u,v)$，如果存在 $u$ 或 $v$ 被赋值为真，则这条边就被覆盖。

反之，如果有一个最小的顶点覆盖，那么根据赋值规则，必然会给每个表达式中的文字一个布尔值，使得表达式为真。

因此，顶点覆盖是 NP 完全的。

总结

顶点覆盖作为 NP 完全问题，至今还没有一种快速的方法来解决它。但是，在实践中，许多有效的算法都已开发出来，并被广泛应用于不同的领域，如计算机网络和电路设计。