证明4 SAT是NP完整的

4-SAT问题： 4-SAT是3-SAT的概括(k-SAT是SAT，其中每个子句具有k个或更少的字面量)。

问题陈述：鉴于条款构成在合取范式(CNF)一个公式f，每4个字面量，问题是确定是否存在用于公式f满足一个分配。

说明：问题的一个实例是为问题指定的输入。 4-SAT问题的一个实例是CNF公式，任务是检查该公式是否满足要求。由于NP-Complete是一个问题，在NP和NP-hard中都存在，因此，证明问题为NP-Complete的陈述的证明包括两部分：

1. The problem itself is in NP class.
2. All other problems in NP class can be polynomial-time reducible to that.
   (B is polynomial-time reducible to C is denoted as B ≤ P^C)

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。

但是不可能始终将每个NP问题都简化为另一个NP问题以显示其NP完整性。这就是为什么如果我们想说明一个问题是NP完全的，我们只是表明，问题是NP和任何NP完全问题是还原到后来我们都做了，也就是说，如果B是NP完全和^B≤Ç 。对于NP中的C，则C为NP-Complete。因此，可以使用以下两个命题来验证4-SAT问题是否为NP完全问题：

1. 4-SAT问题在NP中：
   如果NP中存在任何问题，则给定“证书”，该证书是问题的解决方案和问题的实例(在这种情况下为公式f )，可以对其进行验证(检查给出的解决方案是否正确)否)证书在多项式时间内。这可以通过以下方式完成：
   给定属于公式f的变量的分配，如果该分配满足或不满足该公式，则可以在线性时间内验证该分配。
2. 4-SAT问题是NP-Hard ：
   为了证明4-SAT问题是NP-Hard，请将已知的NP-Hard问题简化为该问题。推论出可以将3-SAT问题简化为4-SAT问题的减少量。例如，对于3-SAT公式f的每个子句，应在公式中添加字面量a及其对应的补语a’ 。设子句c ，使c = u V v’V w
   要将其转换为4-SAT，我们将c转换为c’ ，这样，
   c’=(u V v’V w V a’)和(u v v’V w V a’) 。
   模拟此转换后，两个属性成立：
   1. 如果3-SAT具有令人满意的分配，这意味着每个子句对于一组特定的字面量值求值为true，则4-SAT也将成立，因为每个子句集都是由字面量及其补码组成的，其价值不会有任何不同。
   2. 如果4-SAT对于(u V v V w V a)和(u V v V w V a’)中的任何一个都可满足，则3-SAT也可满足，因为a和a’是补码，这表明公式为可以满足，因为还有其他字面量。

因此，按照上述命题，4-SAT问题是NP-Complete 。