SAT是NP完整的证明

SAT问题： SAT(布尔可满足性问题)是确定是否存在满足给定布尔公式的解释的问题。它询问给定布尔公式的变量是否可以用值TRUE或FALSE一致地替换，从而使公式的计算结果为TRUE 。在这种情况下，该公式称为“可满足的” 。另一方面，如果不存在这样的分配，则对于所有可能的变量分配，由公式表示的函数为FALSE ，并且该公式不满足。

问题：给定布尔公式f ，问题在于确定公式f是否具有令人满意的赋值。

说明：问题的一个实例是为问题指定的输入。问题的一个例子是布尔公式f 。由于NP完全问题既是NP又是NP-Hard的问题，所以证明问题是NP-Complete的证明或陈述包括两部分：

1. The problem itself is in NP class.
2. All other problems in NP class can be polynomial-time reducible to that.
   (B is polynomial-time reducible to C is denoted as ≤ P^C)

如果仅满足第二个条件，则该问题称为NP-Hard 。

但是不可能将每个NP问题一直化为另一个NP问题以始终显示其NP完全性，即表明一个问题是NP完全的，然后证明该问题在NP中，并且任何NP完全问题都可以还原为。也就是说，如果B是NP完全且B≤P ^C对于NP中的C，则C是NP完全。因此，可以使用以下命题来验证SAT问题是否是NP-Complete：

SAT在NP中：
NP中有任何问题，然后给出“证书”，这是问题的解决方案，并且是问题的实例(布尔公式f )，我们将可以检查(标识解决方案是否正确)证书在多项式时间内。这可以通过检查给定的变量分配是否满足布尔公式来完成。

SAT是NP-Hard ：
为了证明这个问题是NP-Hard然后减少了一个已知问题，在这种情况下Circuit-SAT对我们的问题进行了处理。布尔电路C可以更正为布尔公式，如下所示：

• 对于每条输入线，添加一个新变量y _{i 。}
• 对于每条输出线，添加一个新变量Z。
• 为每个门准备一个方程。
• 这些组方程由∩值分离，并在末处加入∩ž。

可以在线性时间内完成此转换。现在，以下命题成立：

• 如果存在一组满足电路要求的输入，可变值，则可以得出满足公式的公式f的赋值。这可以通过计算电路中每个门的输出来模拟。
• 如果公式f有令人满意的赋值，则可以在除去新添加的变量后满足布尔电路。

例如：如果下面是电路，则：

$y_{1}=x_{1}\cap x_{3}$
$y_{2}=y_{1}\cap x_{2}$
$y_{3}=x_{3}\cup x_{4}$
$\therefore f = y_{1}\cap y_{2}\cap y_{3}\cap z$

因此， SAT问题是NP完全的。