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📜  SAT是NP完整的证明(1)

📅  最后修改于: 2023-12-03 14:47:14.098000             🧑  作者: Mango

SAT 是 NP 完全的证明

什么是 SAT

SAT (Satisfiability problem，可满足性问题) 是一个有着广泛应用的逻辑问题。给定一个布尔表达式，SAT 问题的目标是找到一组变量的赋值，使得布尔表达式为真。如果能够找到这样的赋值，那么问题就是可满足的；否则，问题就是不可满足的。

NP 完全问题

NP (Nondeterministic Polynomial time，非确定性多项式时间) 是一类计算问题的集合，它包含了那些可以在多项式时间内验证给定解是否为正确解的问题。NP 完全问题是 NP 类中最难解决的问题，也被证明是相互等价的。

NP 完全证明

一般来说，证明一个问题是 NP 完全的，需要满足两个条件：

  1. 问题本身属于 NP 类问题，即可以在多项式时间内验证给定的解。

  2. 问题可以通过多项式时间的归约转换为某个已知的 NP 完全问题。

对于 SAT 问题，它已经被广泛证明是 NP 完全的。这意味着任何一个 NP 完全问题都可以转化为 SAT 问题，而 SAT 问题又可以在多项式时间内验证给定解的正确性。

归约到 SAT

许多 NP 完全问题都可以通过多项式时间的归约转化为 SAT 问题。归约是指将一个问题转化为另一个问题的过程，这里将 NP 完全问题转化为 SAT 问题的过程称为归约到 SAT。

以图着色问题为例，图着色问题是要找出一个图的顶点的着色方案，使得相邻的顶点颜色不同。这个问题可以转化为 SAT 问题，具体的归约过程可以通过将图着色问题的约束条件转化为 SAT 的布尔表达式来实现。

结论

SAT 问题的 NP 完全性证明了它的困难程度，同时也说明了很多其他计算问题可以通过归约转化为 SAT 问题来解决。这使得 SAT 问题成为了计算机科学中一个非常重要的问题。

参考资料：