证明顶点覆盖是 NP 完备的

什么是顶点覆盖？

在图论中，顶点覆盖是指，选择图中一些点，使得每条边至少有一个端点被选择。例如下图中，红色点构成的集合 {1, 3, 4} 就是一个顶点覆盖。

为什么顶点覆盖是 NP 完备的？

首先，我们需要知道什么是 NP 问题和 NP 完备问题。

• NP 问题是指，可以在多项式时间内验证一个解是否正确的问题，但是求解一个最优解可能需要指数时间。
• NP 完备问题是指，既是 NP 问题，又可以用 NP 问题之间的归约来证明是 NP 完备。

要证明顶点覆盖是 NP 完备的，我们需要分两步：

1. 证明顶点覆盖是 NP 问题；
2. 找到一个 NP 完备问题，并证明它可以规约到顶点覆盖。

确定顶点覆盖是 NP 问题

首先，我们需要证明一个问题是 NP 问题，只需要证明其解的验证可以在多项式时间内完成。

对于顶点覆盖问题，假设我们已经选择了一些点，我们需要验证这些点是否构成一个顶点覆盖。这可以通过检查每一条边，看它的两个端点是否都被选择了来实现。由于每条边只需要检查一次，因此，该验证过程可以在多项式时间内完成。所以，顶点覆盖问题是 NP 问题。

将一个 NP 完备问题规约到顶点覆盖

为了证明顶点覆盖是 NP 完备的，我们需要找到一个已知的 NP 完备问题，并证明它可以规约到顶点覆盖。

一个常见的 NP 完备问题是 3-SAT（三元布尔可满足性问题）。该问题是指：给定一个由布尔变量和逻辑运算符组成的公式，问是否存在一种赋值，使得该公式的结果为真。该问题已经被证明是 NP 完备的。

我们可以将 3-SAT 问题规约到顶点覆盖问题。具体来说，对于 3-SAT 问题中的每个子句，我们创建一个长度为 3 的路径，并将路径的中间点分别与子句中的三个变量相关联。为了保证任何时候都可以选择路径上的一个端点来覆盖路径，我们需要在每个路径的两个端点之间添加一条边。最终，我们在构建完所有路径之后，从图中选择一个大小为 k 的顶点覆盖，使得每个长度为 3 的路径至少有一个端点被覆盖。

我们通过上述规约，将 3-SAT 问题转换为顶点覆盖问题。由于 3-SAT 问题已经被证明是 NP 完备的，因此，顶点覆盖问题也是 NP 完备的。

总结

通过以上证明，我们可以得出结论：顶点覆盖是 NP 完备的。这意味着，我们需要使用 NP 完备问题的解法来处理顶点覆盖问题。通常，我们可以使用近似算法（近似算法保证最终的解与最优解之间的差距不会太大）或者枚举算法来解决 NP 完备问题。