门 | GATE-CS-2005 | 问题 14

这是一道 GATE-CS-2005 的问题，编号为 14。这个问题涉及命题逻辑和真值表的知识，考查了考生的基本的逻辑推理能力。

问题描述

对于以下的命题

(P ↔ Q) ∧ (~P ↔ R)

请列出由 P、Q、R 三个命题构成的真值表。

解题思路

根据题目中给出的命题，我们可以得到以下的真值表：

| P | Q | R | ~P | P ↔ Q | ~P ↔ R | (P ↔ Q) ∧ (~P ↔ R) | |:-:|:-:|:-:|:--:|:-----:|:------:|:------------------:| | T | T | T | F | T | T | T | | T | T | F | F | T | F | F | | T | F | T | F | F | F | F | | T | F | F | F | F | T | F | | F | T | T | T | F | T | F | | F | T | F | T | F | F | F | | F | F | T | T | T | F | F | | F | F | F | T | T | T | T |

首先，我们需要把命题中的逻辑运算符简化到最基本的 ~、∧、∨ 三种操作。这样就方便我们按照真值表的方式逐一推导出每一组命题 P、Q、R 的取值和最终命题的取值了。

我们依次列出逻辑表达式的简化过程：

(P ↔ Q) ∧ (~P ↔ R)
= [(P ∧ Q) ∨ (~P ∧ ~Q)] ∧ [(~P ∧ R) ∨ (P ∧ ~R)]      （按照等价式 P↔Q ≡ (P∧Q)∨(~P∧~Q) 简化）
= [(P ∧ Q) ∧ (~P ∧ R)] ∨ [(~P ∧ ~Q) ∧ (P ∧ ~R)]      （按照分配律简化）
= [(P ∧ Q ∧ ~P ∧ R) ∨ (~P ∧ ~Q ∧ P ∧ ~R)]            （按照结合律简化）
= [(P ∧ ~P ∧ Q ∧ R) ∨ (~P ∧ P ∧ ~Q ∧ ~R)]            （按照交换律简化）
= [(F ∧ Q ∧ R) ∨ (F ∧ ~Q ∧ ~R)]                      （按照非自反律简化）
= (F ∧ Q ∧ R) ∨ (F ∧ ~Q ∧ ~R)                        （按照与零元简化）
= F ∧ [Q ∧ R ∨ ~Q ∧ ~R]                              （按照分配律简化）
= F                                                 （按照与零元简化）

由此，得出最终的真值表。