主题: 具有更新的数组中的阿姆斯壮数的范围查询

介绍

阿姆斯壮数指这样一种数：它的每个位上的数字的立方和等于它本身。例如：153 = 1^3 + 5^3 + 3^3。

本文介绍如何处理具有更新操作的阿姆斯壮数数组，并实现范围查询操作。

功能需求

1. 实现一个类 ArmstrongArray，支持以下操作：

   • ArmstrongArray(n: int)，初始化一个长度为 n 的阿姆斯壮数数组，所有元素默认为 0。
   • update(index: int, value: int)，将下标为 index 的元素更新为 value。
   • query(left: int, right: int)，查询[left, right]范围内阿姆斯壮数的个数。

2. 程序需要实现一种高效的数据结构，以支持大规模数组操作。

设计思路

预处理

阿姆斯壮数都是固定的，因此可以首先预处理得到所有小于等于最大值的阿姆斯壮数，用于后续查询。可以用一个列表保存，也可以用集合优化查询。

更新操作

当一个元素被修改时，需要更新的是该元素所在的位置，以及覆盖它的每个区间的阿姆斯壮数字数。

可以使用线段树来支持这个更新操作，每个节点用一个数组保存区间内的阿姆斯壮数字数。

当一个节点被更新时，它的阿姆斯壮数字数也会被更新。如果一个节点的所有子节点的阿姆斯壮数字数都被更新了，那么它的阿姆斯壮数字数也会被更新。

查询操作

对于查询操作，可以采用线段树进行区间查询。当查询一个区间时，需要从根节点一直递归到叶子节点，找到对应的区间，并将所有区间内的阿姆斯壮数求和。

代码实现

from typing import List

class ArmstrongArray:
    def __init__(self, n: int):
        self.n = n
        self.armstrong_nums = set()  # 保存所有的阿姆斯壮数
        self.preprocess()
        self.tree = [0] * (4 * n)
 
    def preprocess(self):
        for i in range(1, 10):
            for j in range(10):
                for k in range(10):
                    num = i * 100 + j * 10 + k
                    if num == i ** 3 + j ** 3 + k ** 3:
                        self.armstrong_nums.add(num)

    def update(self, index: int, value: int):
        self._update(0, 0, self.n - 1, index, value)
 
    def _update(self, tree_index: int, left: int, right: int, index: int, value: int):
        """
        更新线段树
        """
        if left == right:
            if value in self.armstrong_nums:
                self.tree[tree_index] = 1
            else:
                self.tree[tree_index] = 0
        else:
            mid = (left + right) // 2
            if index <= mid:
                self._update(tree_index * 2 + 1, left, mid, index, value)
            else:
                self._update(tree_index * 2 + 2, mid + 1, right, index, value)
            self.tree[tree_index] = self.tree[tree_index * 2 + 1] + self.tree[tree_index * 2 + 2]
 
    def query(self, left: int, right: int) -> int:
        return self._query(0, 0, self.n - 1, left, right)
 
    def _query(self, tree_index: int, left: int, right: int, query_left: int, query_right: int) -> int:
        """
        查询区间内的阿姆斯壮数个数
        """
        if left > query_right or right < query_left:
            return 0
        if left >= query_left and right <= query_right:
            return self.tree[tree_index]
        mid = (left + right) // 2
        return self._query(tree_index * 2 + 1, left, mid, query_left, query_right) + \
            self._query(tree_index * 2 + 2, mid + 1, right, query_left, query_right)

性能分析

• 初始化时间复杂度: $O(nlogn)$，其中 logn 是线段树的高度。
• 更新操作时间复杂度: $O(logn)$。
• 查询操作时间复杂度: $O(logn)$。
• 空间复杂度: $O(nlogn)$。每个区间需要保存阿姆斯壮数字数，因此需要 4n 个数组空间，线段树的高度为 logn。