最小化对均具有按位与的数组的总和

问题描述

给定一个矩阵，其中包含n个长度为m的二进制数组，您的任务是找到一个数组，使得所有其它数组与此数组按位与的结果最小，并返回该结果。例如，在以下示例中，第一行的“0010”与第二行的“0001”进行按位与后得到“0000”，是所有按位与结果中最小的。

Input: [[0,0,1,0], [0,1,0,1], [1,0,1,1]]
Output: 0
Explanation: Every possible AND of any two arrays results in 0, so the answer is 0.

解决方案

这是一个典型的位运算问题。对于任何两个数的按位与结果，都只有在二进制下的每个位置都为1时才为1，否则为0。 因此，一个优化的解决方案是找到最左侧的相同位数，并将其余位置全部置为0，以便在按位与时获得最小值。

我们将遍历从0到30的所有位数，对于当前位数，我们将检查矩阵中的所有数组是否都具有此位。如果是，我们将此位添加到结果数中，并将矩阵中的所有数组的相应位都变为0。重复此过程，直到所有位数都被检查为止。最后返回所得结果。下面是此算法的Python实现代码：

class Solution:
    def matrixBitwiseAnd(self, matrix: List[List[int]]) -> int:
        res = 0
        for i in range(31, -1, -1):
            flag = 1
            for row in matrix:
                if row[-1] & flag != flag:
                    flag = 0
                    break
            res |= flag * (1 << i)
            for j in range(len(matrix)):
                matrix[j][-1] &= ~flag
            if not any(matrix):
                break
        return res

复杂度分析

该算法的时间复杂度为O(nm)，其中n是数组的长度，m是数组中的元素位数。这是遍历所有位并检查所有数组的必须工作量。 空间复杂度为O(m)，其中m是数组中的元素位数。这是记录结果的必须开销。 对于很长的数组，由于我们只需要比较31个位数，因此该算法是高效的。