介绍

本文主题为门(GATE)计算机科学专业2006年的题目第75章，内容涉及计算机科学基础知识。

GATE是印度尼赫鲁科技大学(IIT)进行的博士研究生考试，考察的是学生在计算机科学基础知识方面的掌握程度。这道题目要求程序员能够分析和理解有限状态机(FSM)和有向无环图(DAG)的相关概念和算法，并能够完成相应的程序设计。

题目描述

题目要求设计一个程序，输入一个有向无环图(DAG)，并检查其中是否存在从起点到终点的路径。如果存在，需要输出这条路径上所有节点的编号，如果不存在，输出"No path found"。注意，题目中给定的是有向无环图(DAG)，因此不存在环路的情况。

程序的输入格式为一个文本文件，文件的第一行为两个正整数n和m，分别表示有向无环图的节点数和边数；接下来m行中的每一行为一条有向边，表示从一个节点到另一个节点的方向。

解题思路

对于本题，我们需要设计一个算法来判断有向无环图中是否存在从起点到终点的路径。

一种常见的解决方案是使用拓扑排序(Topological Sort)算法，将有向无环图中的节点按照依赖关系排序，然后按照排序结果依次进行路径查找操作。

具体实现方法如下:

1. 构造邻接矩阵

首先，我们需要构造一个邻接矩阵，将输入的有向无环图转换为一个二维数组。其中，邻接矩阵中的每个元素表示有向边的存在与否，如果从节点i到节点j有一条有向边，则矩阵中(i, j)的位置为1，否则为0。

2. 计算节点入度

对于每个节点，我们需要计算它的入度(in-degree)，即有多少条有向边指向了该节点。该操作可以通过邻接矩阵来实现，检查每一列中1的个数即可。

3. 建立初始队列

我们需要建立一个初始队列，将所有入度为0的节点加入队列中。这些节点没有前驱节点，因此它们可以作为拓扑排序的起点。

4. 拓扑排序

在拓扑排序中，我们每次从队列中弹出一个入度为0的节点，并将其加入排序结果中。然后我们扫描邻接矩阵中该节点对应的列，将所有与之相连的节点的入度减1。

如果减1之后该节点的入度为0，将其加入队列中。如此重复，直到队列为空为止。如果最终排序结果中包含终点，说明从起点到终点的路径存在；否则，说明路径不存在。

5. 输出路径

如果从起点到终点的路径存在，我们可以在拓扑排序的过程中记录每个节点入队列时的编号，从而推导出路径的具体节点编号。同时，我们还需要输出每个节点所对应的实际名称，而不是简单的数字编号。另外，如果存在多个路径，则输出其中任意一条即可。

代码实现

下面给出程序代码的主体框架：

class DAG:
    def __init__(self, n, m):
        # 构造n*m的邻接矩阵
        self.matrix = [[0] * n for _ in range(n)]
        # 保存每个节点的实际名称
        self.nodes = ['' for _ in range(n)]
        # 保存每个节点的入度
        self.indegrees = [0] * n
        # 保存节点入队列的顺序
        self.order = []
        # 保存从起点到终点的路径
        self.path = []
        # 保存终点在邻接矩阵中的行号
        self.finish = None

    def load(self, filename):
        # 从文件中读取图的描述信息
        with open(filename, 'r') as f:
            n, m = map(int, f.readline().split())
            for i in range(n):
                self.nodes[i] = f.readline().strip()
            for i in range(m):
                x, y = map(int, f.readline().split())
                self.matrix[x][y] = 1
                self.indegrees[y] += 1

    def topological_sort(self, start, finish):
        # 初始化队列
        queue = [start]

        while queue:
            # 从队列中弹出一个入度为0的节点
            node = queue.pop(0)

            # 将该节点加入排序结果中
            self.order.append(node)

            # 如果该节点是终点，则记录行号
            if node == finish:
                self.finish = len(self.order) - 1
                break

            # 扫描与之相连的节点
            for i in range(len(self.matrix[node])):
                if self.matrix[node][i] == 1:
                    # 将相邻节点的入度减1
                    self.indegrees[i] -= 1
                    if self.indegrees[i] == 0:
                        # 将入度为0的节点加入队列
                        queue.append(i)

    def find_path(self):
        # 如果终点不存在，说明路径不存在
        if self.finish is None:
            print("No path found")
            return
        
        # 保存从起点到终点的路径
        node = self.order[self.finish]
        while node != self.order[0]:
            self.path.append(node)
            for i in range(len(self.matrix[node])):
                if self.matrix[node][i] == 1:
                    if self.order.index(i) < self.finish:
                        node = i
                        break
                if i == len(self.matrix[node])-1:
                    node = self.order[0]

        # 输出路径
        self.path.append(self.order[0])
        for i in range(len(self.path)-1, -1, -1):
            print(self.nodes[self.path[i]])

总结

本题的解题思路是基于有向无环图(DAG)和拓扑排序(Topological Sort)算法。其中，有向无环图是计算机科学中常见的数据结构之一，拓扑排序算法则是解决有向无环图问题的常用算法之一。

要想解决本题，需要满足基本的计算机科学知识，并掌握相关的算法和数据结构。因此，通过学习本题，可以帮助计算机科学专业的学生巩固和提升其基础知识，为进一步研究和学习相关领域打下坚实的基础。