门 | GATE-CS-2006 | 问题5

本篇回答的是GATE-CS-2006的问题5，题目如下：

有一扇门，从1到n编号。一些编号是质数（prime）,其他编号是合数（composite）。每次可以选择一个编号k并支付数字k元。门会被打开当且仅当相邻的两个编号都已选择。你的目标是用最小的代价把门打开。设计一个算法来解决这个问题并证明它的正确性。

算法设计

对于这道问题，我们可以采用贪心算法来解决。具体思路如下：

1. 先将质数和合数分别存入两个列表中，并对两个列表进行排序，使编号小的优先考虑。
2. 选择第一个编号为质数列表中的第一个元素k，支付k元后选中编号k，将编号k从质数列表中移除，将编号k-1和编号k+1从合数列表中移除。
3. 选择下一个编号时，优先选择合数列表中编号较小的元素，如果没有选择后一个质数列表中的元素即可。每次选择完编号后，都要将编号k-1和k+1从另一个列表中移除。
4. 重复以上步骤，直到两个列表都为空。

算法证明

算法正确性的重点在于贪心策略的证明。首先，我们可以证明，对于单个编号而言，选择编号k的决策是正确的。因为只有当相邻两个编号都被选择后门才能打开，因此为了让门尽早打开，选择编号k是最优的选择。

其次，我们可以证明，每次选择编号时按照编号大小顺序贪心是正确的。假设当前已经选择了编号a和编号b，并且a < b，则下一个选择的编号k可以是a-1，a+1，b-1，b+1中的任意一个。但是，根据贪心策略，我们应该先选择编号较小的。因此，不妨设选的是a-1，那么k-1和k+1都是合数，必须从合数列表中移除。而此时b-1和b+1仍然存在合数列表中，因此下一步应该选择较小的b-1。如果选择了b+1，那么b-1就会被剩下，无法对下一步的选择产生贡献。因此，我们证明了按照编号大小顺序贪心是正确的。

代码实现

下面是算法的Python实现，其中prime_list和composite_list分别表示质数列表和合数列表。

def open_gate(prime_list, composite_list):
    cost = 0
    prev_num = -1
    
    while prime_list or composite_list:
        if prime_list and prev_num < prime_list[0]:
            k = prime_list[0]
            prime_list.pop(0)
        elif composite_list:
            k = composite_list[0]
            composite_list.pop(0)
        else:
            break
        
        if prev_num == -1:
            prev_num = k
            cost += k
            continue
        
        if k - prev_num == 1:
            prev_num = k
            cost += k
        elif k - prev_num > 1:
            cost += k
            prev_num = k
            composite_list = [num for num in composite_list if num < k-1 or num > k+1]
            prime_list = [num for num in prime_list if num < k-1 or num > k+1]
    
    return cost

总结

本篇主要介绍了一道GATE-CS-2006的问题5，给出了贪心算法的设计思路及证明，并提供了Python实现代码。除此之外，我们还需要注意一些细节，例如在选择编号k后，要将k-1和k+1从另一个列表中移除，以免重复选择。最后，需要注意题目中的细节要求，例如考虑了编号k-1和k+1是否存在于列表中，以及要选择最小编号的贪心策略。