门| Sudo GATE 2020 Mock II（2019 年 1 月 10 日）|第 58 题

题目描述

本题是2019年1月10日Sudo GATE 2020 Mock II考试中的第58题。该题目涉及编程算法和数据结构。

题目内容

给定一个N x M的矩阵，矩阵中的每个元素要么是1，要么是0。我们需要找到从左上角到右下角的一条路径，使得该路径上所有的元素和为最小。同时，我们有以下限制条件：

• 每次移动可以向下或向右
• 只能经过值为1的元素

编写一个程序来计算满足以上条件的最小元素和，并返回该和。

输入格式

• 第一行包含两个整数N和M，分别表示矩阵的行和列数。
• 接下来的N行，每行包含M个由空格分隔的整数，表示矩阵中的元素。

输出格式

• 一个整数，表示满足条件的最小元素和。

示例

输入：

3 3
1 0 1
1 1 1
0 1 1

输出：

3

解释

从左上角到右下角的一条路径可以是 (0, 0) -> (0, 1) -> (1, 1) -> (2, 1) -> (2, 2)，这样的路径上所有元素和为3。

解题思路

这是一个典型的动态规划问题。我们可以使用二维数组dp来记录从左上角到达每个元素的最小元素和。初始化时，将第一行和第一列的元素依次相加，表示从左上角到达该点的最小元素和。然后，我们按照从上到下、从左到右的顺序遍历矩阵中的所有其他元素，并更新dp数组的值。在更新dp[i][j]时，我们有两种选择：从上方元素到达该点，或者从左方元素到达该点。我们选择其中的较小值，然后将其加上当前元素的值即可。最后，dp[N-1][M-1]即为所求的最小元素和。

代码示例

def min_path_sum(matrix):
    N = len(matrix)
    M = len(matrix[0])
    
    dp = [[0 for _ in range(M)] for _ in range(N)]
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    
    # 初始化第一列的值
    for i in range(1, N):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0]
    
    # 初始化第一行的值
    for j in range(1, M):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j]
    
    # 计算从左上角到达其他点的最小元素和
    for i in range(1, N):
        for j in range(1, M):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j]
    
    return dp[N-1][M-1]

# 示例输入
matrix = [
    [1, 0, 1],
    [1, 1, 1],
    [0, 1, 1]
]

# 计算并输出结果
print(min_path_sum(matrix))

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N * M)，其中N和M分别是矩阵的行数和列数。我们需要遍历整个矩阵来计算dp数组的值。
• 空间复杂度：O(N * M)，我们使用了一个二维数组dp来存储从左上角到达每个元素的最小元素和。