最大子序列总和使得在 O(1) 空间中没有三个是连续的

简介

最大子序列总和问题（Maximum Subarray Problem）是指在一个有正有负的整数序列中，寻找一个连续的子序列，使得该子序列的和最大。

常见的解决方式是使用动态规划，时间复杂度为 O(n)，但是需要 O(n) 的额外空间用来存储状态数组。

本文介绍一种优化的解决方式，使得在 O(1) 空间中解决该问题，并且满足没有三个连续的子序列相加。

解决方式

对于一个序列，设 max[i] 表示以 i 结尾的最大子序列总和（即包含 i 的最大子序列），且不能包含三个连续的子序列相加。

考虑动态规划中的状态转移方程：

max[i] = max{max[i-1]+nums[i], nums[i]}

但是，在本问题中，我们需要满足没有三个连续的子序列相加的限制。

因此，我们可以对该状态转移方程稍作修改：

max[i] = max{max[i-2]+nums[i], nums[i], max[i-1]}

其中，max[i-2]+nums[i] 表示以 i 结尾的子序列包含 i-2 和 i，nums[i] 表示只包含 i，max[i-1] 表示不包含 i 的最大子序列。

最终的答案就是 max 数组中的最大值，即：

result = max{max[i]}

代码

def max_subarray(nums: List[int]) -> int:
    if not nums:
        return 0
    n = len(nums)
    if n == 1:
        return nums[0]
    pre_pre_max, pre_max, cur_max = nums[0], max(nums[0], nums[1]), 0
    for i in range(2, n):
        cur_max = max(pre_pre_max + nums[i], nums[i], pre_max)
        pre_pre_max, pre_max = pre_max, cur_max
    return pre_max

总结

本文介绍了一种优化时间复杂度且空间复杂度较低的解决方案，用于解决最大子序列总和问题。同时，该解决方案还满足了没有三个连续子序列相加的限制。