从有效三元组形成的表达式 (arr[i] + arr[j] * arr[k]) 的最大值

在计算机科学中，有时我们需要找出一个数组中三个数的组合，计算其中一个特定表达式的最大值。本文将介绍如何以高效的方式找到这个表达式的最大值。

问题描述

一个有效三元组 (i,j,k) 是一个满足 $0 \leq i < j < k < n$ 的三元组。给定一个由n个整数组成的数组arr，我们需要找到所有有效三元组，并计算表达式 $arr[i] + arr[j] * arr[k]$ 的最大值。

解决方案

我们可以采用暴力法来解决这个问题，简单地枚举所有有效的三元组，计算表达式的值并取其中的最大值。但是，这个方法的时间复杂度为 $O(n^3)$，当数组规模较大时会很慢。

更有效率的解决方案是通过下述步骤实现：

1. 对数组arr进行排序。
2. 遍历所有可能的(j,k) 组合并计算表达式的值，将结果存储在一个数组中。
3. 遍历数组arr，找到当前位置 i 的最大表达式值，即在步骤 2 中生成的数组中，小于或等于i的最大值乘以之后的数值与i的值相加得到的最大的值。

算法实现

下面给出具体的算法实现，代码片段使用 Python 语言编写：

def max_triplet_expression(arr: List[int]) -> int:
    """计算arr[i] + arr[j] * arr[k] 的最大值。"""
    n = len(arr)
    arr_sorted = sorted(arr)
    max_val = -float('inf')
    expressions = [-float('inf')] * n

    for j in range(1, n):
        for k in range(j+1, n):
            expressions[k] = max(expressions[k], arr_sorted[j-1] * arr_sorted[k-1])
    
    for i in range(2, n):
        max_val = max(max_val, arr_sorted[i-2] + expressions[i])

    return max_val

总结

采用排序方法实现是这个问题的高效方法。我们首先对数组进行排序，因为表达式的最大值只能是数组的最后三个元素或是某对元素之间的乘积。这就允许我们通过一次遍历，找到所有可能存在的、小于或等于i的表达式最大值。这个方法的时间复杂度是 $O(nlogn)$，比暴力法的时间复杂度 $O(n^3)$ 要快得多。