最长双调子序列 | DP-15

简介

给定一个数组，要求找到其中的最长双调子序列的长度。其中，双调子序列是指从前往后递增，然后从某个位置开始递减。例如，序列1,3,5,4,2就是一个双调子序列，其中递增部分为1,3,5，递减部分为5,4,2。

该问题可以用动态规划算法求解。

算法分析

首先，我们定义dp[i]为以第i个元素作为结尾的最长双调子序列的长度。那么，对于第i个元素而言，它可以成为双调子序列的递减序列的起点，也可以成为递增序列的终点。如果它成为递减序列的起点，那么它之前的所有元素都必须小于它；如果它成为递增序列的终点，那么它之前的所有元素都必须小于等于它。

根据以上分析，我们可以得到以下状态转移方程：

dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[k] + 1)
其中，0 <= j < i，arr[j] < arr[i]
      k > i，arr[k] < arr[i]

这个方程的含义是，以第i个元素作为结尾的最长双调子序列的长度，等于以j为结尾的递增子序列的长度和以k为起点的递减子序列的长度之和加1。

最后，我们只需要找到dp数组中的最大值，即为所求的最长双调子序列的长度。

代码实现

下面是使用Python实现以上算法的代码片段：

def longest_bitonic_subsequence(arr):
    n = len(arr)
    dp_inc = [1] * n
    dp_dec = [1] * n

    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if arr[j] < arr[i]:
                dp_inc[i] = max(dp_inc[i], dp_inc[j] + 1)

    for i in range(n - 2, -1, -1):
        for j in range(n - 1, i, -1):
            if arr[j] < arr[i]:
                dp_dec[i] = max(dp_dec[i], dp_dec[j] + 1)

    max_len = 0
    for i in range(n):
        max_len = max(max_len, dp_inc[i] + dp_dec[i] - 1)

    return max_len

以上代码中，我们分别计算了以每个元素结尾的递增子序列的长度和以每个元素为起点的递减子序列的长度。最后，我们遍历所有元素，计算它们对应的最长双调子序列的长度，并找到其中的最大值。